第一章 运动和力 6
加速度的矢量式为
a???Rcos?tti??Rcos?tj ???(Rcos?ti??Rcos?tj) ???r22222由此可见,加速度a和矢径r的方向相反,指向圆心.
1－19 一质点在Oxy平面上运动,运动方程为
x?3t?5y?12t?3t?42
式中t以s计,x和y以m计.求：
(1) 质点在任意时刻的速度和加速度; (2) 质点在t?4s时的速度和加速度.
解 (1) 在任意时刻,质点的速度在Ox和Oy轴上的分量分别为
dxdtdydtvx?vy??3m?s?1
?(t?3)m?s?1质点的速度为
v?[3i?(t?3)j]m?s?1
质点的加速度为
a?dvdt?1jm?s?2
(2) 在t?4s时,质点的速度和加速度分别为
v?[3i?(4?3)j]m?s?1?(3i?7j)m?s?2?1
a?1jm?s
1－20 一质点沿Ox轴做直线运动,其速度与时间的关系如图所示.设t?0时,x?0.试根据已知的v?t图画出a?t图和x?t图.
解 质点的加速度与时间的关系曲线a?t图,以及位置与时间的关系曲线x?t图如下:
第一章 运动和力 7
1－21 一质点做圆周运动,半径为0.1m,其角坐标为
3??2?4t
式中t以s计,?以rad计.求t?2s时,质点的速率、法向加速度和切向加速度.
解 质点的角速度和角加速度分别为
????d?dtd?dt?12t2
?24t质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为
v?r??0.1?12t?1.2tan?r??0.1??12t22222??14.4t
4at?r??0.1?24t?2.4tt?2s时,质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为
v?1.2?2m?s42?1?4.8m?s?2?1?2an?14.4?2m?sat?2.4?2m?s?2?230m?s?2
?4.8m?s1－22 一质点做圆周运动,半径为2m,其角坐标为
??5t?t
式中t以s计,?以rad计.求：
(1) 质点的角速度和角加速度;
2第一章 运动和力 8
(2) t?1s时质点的线速度、切向加速度和法向加速度. 解 (1) 质点的角速度和角加速度分别为
????d?dtd?dt?(10t?1)rad?s?10rad?s?2?1
(2) t?1s时,质点的角速度和角加速度分别为
???10?1?1?rad?s??10rad?s?2?1?9rad?s?1
质点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为
v?r??2?9m?s?1?18m?s?2?1?2at?r??2?10m?san?v2?20m?s
r?1822m?s?2?162m?s?21－23 汽车在水平面内沿半径r?400m的圆弧弯道行驶.设在某一时刻,汽车的速度大小为10m?s?1,切向加速度的大小为0.2m?s?2,其方向与速度方向相反.求汽车加速度的大小.
解 在该时刻,汽车的法向加速度为
an?v2R?102400m?s?2?0.25m?s?2
汽车加速度的大小为
a?an?at?o220.25?0.2m?s22?2?0.32m?s?2
1－24 如图所示,在倾角??30的斜面上,放着两个相互接触的物体,它们的质量分别为m1?12kg和m2?8kg.今沿斜面方向向上施力F?100N作用在物体上,若物体与斜面之间的摩擦力忽略不计,求两物体的加速度及相互间的作用力.
第一章 运动和力 9
解 两个物体示力图和坐标选取如图所示.Ox轴沿斜面向上,Oy轴垂直于斜面.图中
FN为正压力,P为重力.两物体之间的相互作用力F21和F12是一对作用与反作用力,大小相
等.
对物体m1,根据牛顿第二定律,在Ox方向有
F?F12?m1gsin??m1a
对物体m2,根据牛顿第二定律,在Ox方向有
F21?m2gsin??m2a
联立解此二方程,可得两物体的加速度及相互间的作用力大小分别为
a?F?(m1?m2)gsin?(m1?m2)?100?(12?8)?9.8sin30(12?8)om?s?2?0.1m?s?2
F21?F12?m2(a?gsin?)?8?(0.1?9.8sin30)N?40N
o1－25 一根均匀的小棍AB放在水平桌子上,棍子的质量为m、长为L,与桌面之间的摩擦因数为?.现沿棍的长度方向用一恒力F推棍的A端,使其产生加速运动.设想把棍分成AC和CB两段,求:
(1) 当AC?(2) 当AC?4515L时, AC段作用在CB上的力的大小; L时, AC段作用在CB上的力的大小.
解 对小棍AB,根据牛顿第二定律,在A?B水平方向,有
F??mgsin??ma
由此可得,AB的加速度为
a?F??mgsin?m
设CB与AB的长度之比为x,则CB段的质量为xm.截面C两侧的棍子之间的相互作用力大小相等.设这个力的大小为F1,则对于CB段,根据牛顿第二定律, 在A?B水平方向,有
F1??xmgsin??xma
将a?F??mgsin?m代入上式,可得
F1?xF
第一章 运动和力 10
(1) 当AC?(2) 当AC?4515L时,x?L时,x?1545,AC段作用在CB上的力的大小为F1?,AC段作用在CB上的力的大小为F1?1545F. F.
1－26 一根柔软的链条,长为l.将此链条跨过一无摩擦的定滑轮,在一边的长度为
l?x?x?2?2x?l?时,将链条由静止释放,证明链条的加速度为a?g. ?l?证 设链条单位长的质量为?,忽略滑轮的大小.设滑轮两侧链条截面上的张力分别为
F1和F2,则对滑轮两侧的链条,根据由牛顿第二定律,在竖直方向上分别有
?xg?F1??xaF2??(l?x)g??(l?x)a
由于忽略滑轮的大小,F1和F2的大小相等.联立解此二方程,可得链条的加速度大小为
a?2x?llg
1－27 如图所示,小车B上放一质量为m的物块A,小车沿着与水平面夹角为?的斜面下滑,小车与斜面之间的摩擦力可以忽略.由于摩擦A和B之间没有相对滑动.求物体A和小车B之间的相互作用力.
解 物块A和小车B作为一个整体的示力图、物块A的示力图以及坐标选取如图所示.
Ox轴沿斜面向下,Oy轴与斜面垂直.图中FN为正压力,Fr为摩擦力,P为重力.
将B的运动简化为沿斜面下滑,则可认为A和B一起平动,在运动过程中二者的相对位置不变化,因此可将A和B的组合看成质点.设A和B的质量和为m1,则根据牛顿第二定律,在Ox方向有
m1gsin??m1a
由此可得,A和B一起运动的加速度大小为
a?gsin?
物块A的加速度与此相同,大小为a?gsin?,方向沿Ox轴.对物块A,根据牛顿第二定律,在水平方向有