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第 1 章 习 题
1、 求函数u?1?Ax?By?Cz?D?的等值面方程。 解：
根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为
u(x,y,z)?c (c为常数)。
设常数E，则，1?Ax?By?Cz?D??E， 即：E?Ax?By?Cz?D??1
针对不同的常数E（不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场u?xy，求场中与直线x?2y?4?0相切的等值线方程。 解：
根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：
???x2yy??zy2z?的矢量线方程。 3、 求矢量场A?xy2xx??2y?4，
代入标量场xy?C，得到： 2y2?4y?C?0，
满足唯一解的条件：??16?4?2?C?0，
得到：C?2，因此，满足条件的等值线方程为：xy?2
解：由矢量线的微分方程：
dxdydz??AxAyAz2本题中，Ax?xy，Ay?xy，Az?zy， 则矢量线为：
2
2dxdydz??xy2x2yzy2，
由此得到三个联立方程：
dxdydxdzdydz???z，x2zy，解之，得到： yx，xx2?y2，x?c1z，y2?c2x2，整理，
x??y，x?c1z，y??c3x
它们代表一簇经过坐标原点的直线。
???xy2y??3z4z?方向的方向导数。 4、 求标量场u?x2z3?2y2z在点M(2,0,-1)处沿t?2xx解：由标量场方向导数的定义式：
直角坐标系下，标量场u在可微点M处沿l方向的方向导数为
?u?u?u?u ?cos??cos??cos?
?l?x?y?z
1
?、y?、z?的夹角。cos?、cos?、cos?分别是l方向的?、?、?分别是l方向的方向角，即l方向与x方向余弦。
?u?u?u?2z2x?4，?3x2z2?2y2?12 ?4zyM?0，
MM?zM?xM?yM令：
??(2x)2?(xy2)2?(3z4)2?4x?xy?9z2248
则：cos?M2x4?xy2??，cos?M??M5??0，cos?MM3??，
5?u?u?u?u1636?cos??cos??cos???0???4 ?tM?x?y?z55MMM5、 求标量场u?x2?2y2?3z2?xy?3x?2y?6z在点M(0,0,0) 、点M(1,1,1)处的梯度，并找出场中梯度为0的点。 解：由梯度定义：
?u?则：
?u?u?u????? xyz?x?y?z?u??u?u?u?????xyz?x?y?z
??(4y?x?2)y??(6z?6)z??(2x?y?3)x??2y??6z? ?u(0,0,0)?3x??3y? ?u(1,1,1)?6x若要梯度为零，则需使得梯度中各项分量为零，即：
2x?y?3?0 4y?x?2?0 6z?6?0
解之，得到：
x??2,y?1,z?1
即，在点（-2，1，1）处，标量场的梯度为零。
????yy??zz?，r?r，n为正整数。求?r、?rn、?f?r?。 6、 设r?xx解：根据题意及梯度定义：
2
?r??(x2?y2?z2)?1222?(x?y?z)2?(x2?y2?z2)211??2yy??2zz?)?(2xx
2r1??yy??zz?)?(xxr?r?r1?rn?nrn?1?r?n?1r ?nrr??nrn?2r?f(r)?f'(r)?r? r?f'(r)r???y3y??z3z?在点M(1,0,-1)处的散度。 7、 求矢量场A?x3x解：由题意及散度定义： 得到：
???A?3x2?3y2?3z2，将M(1,0,-1)代入：
?3?0?3?6
???AM??????????yy??zz?，r?r，求???ra?、??r2a、??rna，证明?(a?r)?a 8、 设a为常矢量，r?xx????解：由散度运算公式：
1）
??????ra???r?a?r??a?r???a?r?0 r??r?a?r2）
?????r2a??r2?a?r2??a?r?2?2r?a?r?0
r???2r?a??3）
3
?????rna??rn?a?rn??a??nrn?1?r?a?rn?0? n?1r??nr?ar???nrn?2r?a??4）证明： 因为：
????ayy??azz??yy??yz?)?(xx?)a?r?(axx?xax?yay?zaz且：
ax，
ay，az均为常数，所以有：
?????ayy??azz??a ?(a?r)?axx得证。
9、 设无限长细直导线与z轴重合，其上有沿正z轴方向流动的电流I，导线周围的磁场
?H?计算??H。
解：由题意及散度的定义：
?2?x?y?I22???xy?? ??yx???H???2?x?y?I22???xy?? ??yx?Hx?I??x2???Hy?y????y???x2?y2??/?x??I
?xy(x2?y2)?2?x????x2?y2??/?y??
I2??I?xy(x2?y2)?2?
??Hx?Hy??H???x?y ?010、已知u?x2?y2?2xy，求?2u。 解：由题意及散度运算性质：
?2u???(?u)
4
?u??u?u?u?????xyz?x?y?z
??(2x?2y)y??(2x?2y)x??(2x?2y)y?)??(?u)???((2x?2y)x ?2?2?0所以：
?2u?0
11、计算下列矢量场的旋度：
??232????zx2y??xy2z?； ?（1）A?3xy?zx?y?xzy?2xyzz； （2）A?yz2x解：由矢量场旋度定义式，可得：
????1）
???xyz?rotA???x??y??z AxAyAz??Az?Ay???Ax?Az???Ay?Ax?
??????? ????y??y??z??x??x??y??z?z?x?????????1?2yz?y???z2?3x2z? ??2xz?2xz?x???1?2yz?y??z2?3x2z? ?4xzx2）
???????xyz?rotA???x??y??z AxAyAz??Az?Ay???Ax?Az???Ay?Ax??????? ???x??y??z????y????z???z?x??y????x??2yz?y2y??2xz?z2z? ?2xy?x2x??????
????x2y??y2z?，计算??uA。 12、已知u?ex，A?z2x??解：
由题意及矢量的旋度运算公式：
??????uA???u?A?u??A???A?ex(2yx??2zy??2xz?)?exx??xz??2zy??2xz??2yx?)?e(?yy??(2z?y2)y??(x2?2x)z?)?ex(2yxx22
????????yy??zz?，r?r，a为常矢量，求??r、???rf?r??、???af?r??。 13、已知r?xx
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