解：
1）
?x?z?y?x??z?y??(-??(-)z???r?(-)x)y?y?z?z?xz?x?y
?02）
??????rf?r????f(r)?r?f(r)??r???f(r)?r? ?f'(r)?r?r?r??f'(r)?rr?0??????af?r????f(r)?a?f(r)??a???f(r)?a??f'(r)?r?a
?r??f'(r)?ar1???f'(r)r?ar3）
??4z?，求??A?B。 ??2z2y??xyz?，B?x2x14、已知A?3yx????解：由题意及运算规则，先求出A?B，再求旋度：
?????xA?B?AxBx?x?yAyBy?y?zAz
Bz?zxy ?4 ?3y2z2x20??(AzBx?AxBz)y??(AxBy?AyBx)z? ?(AyBz?AzBy)x??(x3y?12y)y??2x2z2z? =?8z2x??(A?B)
??(x3y?12y)y??2x2z2z?) ???(?8z2x??(?2x2z2)?(x3y?12y)???(?8z2)?(?2x2z2)???(x3y?12y)?(?8z2)???????? ???x?y?z????y?z?x?x?y?????z?? 6
??3x2yz? ?(4xz2?16z)y??yy??zz?，15、已知位于坐标原点处电量为q的点电荷产生的电位移矢量D为D?qr4?r3，其中r?xx????r??r，计算??D?和??D?。
解：由题意：
1）
??D???(qr4πr3) ??(q 4πr3)?r?q4πr3??r ?q4π?(1r3)?r
?q(?3)r?44π?r?r
??3qr4πr4r?r
?0
2）
??D???(qr4πr3)
?q??(r?34πr) ?q4π???(r?3)?r?(r?3)??r?? ?q4π???3r?4?r?r?3r?3?? ?q?4π???3r?4r?rr?3r?3??? ?q4π???3r?3?3r?3?? ?0在r=0处，D?无意义，??D?不存在。16、证明????u??0，?????A???0。证明： 1）
由标量场梯度的定义式：
(r?0)
7
??????????u??x?y?z??x?u?y?z?? ?u?u?u??????xyz?x?y?z????u????(由
?u?u?u?????) xyz?x?y?z???Az?Ay???Ax?Az???Ay?Ax???????? ???A????z?y??y??z??x???x???x?y?????z令：
??u?u?u????? A?xyz?x?y?z则：
????u????(?u?u?u?????)xyz?x?y?z??2u??2u?2u???2u?2u??2u???????? ????y?z??z?y??x??z?x??x?z??y??y?x??x?y??z???????0由此得证。 2）由旋度定义：
???Az?Ay???Ax?Az???Ay?Ax???????? ???A????z?y??y??z??x???x???x?y?????z则：
??????A????Az?Ay???Ax?Az???Ay?Ax???????????????x??y??z????y????z???z?x??y????x?????Az?Ay????Ax?Az????Ay?Ax???????y??z??x???z???x??y?? ?x??y?z??????22?2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????x?y?x?z?y?z?x?y?x?z?y?z?0?由此得证。
17、已知u??,?,z???2cos??z2sin?，求A??u，并计算??A。 解：由题意及柱坐标下梯度的计算公式：
?u1?u?u??????u???z??????z
8
??
???u?2?cos??????212??2zsin?z? sin??z2cos??????2?cos???z?1??2zsin?z? cos???2sin????1??z2cos???2sin????2zsin?z? A??u?2?cos?????由
?1?1?A??Az??A??A???
???????z??可得：
?1?1?z2cos???2sin??2zsin? ??2?cos???2??A????????z??21??A??2?cos???2?z2sin???2cos??2sin?
????????z2???A?4cos??cos????2??2??sin?
????z2???A?3cos????2??2??sin?
?????2??18、已知A??,?,z???cos????sin??，计算??A、??A。
解：由题意及柱坐标下散度、旋度的计算公式：
?1?1?A??Az??A??A???
???????z??可得：
?1?1?(?sin?)??A??cos2??
?????????1??A?cos2??cos?
???1?Az?A????A?A???????z??A?????????z?z????????1?1?A?????z????A????????? ???????????(?sin?)???(?cos2?)??1?1?(?cos2?)?????????? ???sin?????A????z???????z?z??????????????1?1? ??A??2?sin??2?cos?(?sin?)?z??????
9
?? ??A?2?sin??sin?cos??z?21???ur,?,???ar?3?sin2?cos?，求?u。 19、已知
r??解：由题意及球坐标下梯度的计算公式：
?u1?u?1?u? ???u?r????rr??rsin???可得：
1????1??2?ar?4?cos?cos2???u?(2ar?3r?4)sin2?cos?rr?sin?????2cos?sin???A?r,?,???r????A??A，计算、。 r3r3解：由题意及球坐标下散度、旋度的计算公式：
?1?2?A?1??sin?A???1??A?2rAr?rsin???rsin??? r?r1???20、已知ar?sin2?sin???4?r?????1??22cos??1??sin?? ??A?2r?sin????33?r?r?rr??rsin?????1??2cos??1??21???A?2????sin?3?
r?r?r?rsin????r??2cos?1?2??A?(?r)?2sin?cos? 24rrsin???2cos?2??A??4cos? 4rr???A?0
第 2 章 习 题
1、 三个点电荷q1=4C、 q2=2C、q3=2C，分别放置于(0,0,0)、(0,1,1)、(0,-1,-1)三点上，求作用于(6,0,0)点处单位负电荷上的力。
解：由库仑定律，得点电荷间作用力：
???q?qr?r?Fq??q???34??0r?r?
令(6,0,0)点处单位负电荷为q；则电荷q1对电荷q的作用力：
?qqFq1?q?14??0
??r?r???3r?r?
10