第1章 质点运动学 习题及答案
一、填空题
1.一质点沿Ox轴运动,其运动方程为x?3?5t?t3,则质点在任一时刻的速度为 ，加速度为 。
2.一质点沿Ox轴运动，其运动方程为x?3?5t?t3，则质点在t?2s时的加速度大小为 ，方向为 。
3. 一质点沿Ox轴运动，其速度为??2t2，初始时刻位于原点，则质点在t?2s时的位置坐标x? ,加速度大小为 。
4.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为a??A?2cos?t，在t=0 时，
?x?0,x?A,其中A,?均为正常数，则此质点的运动方程是 。
5．一质点的运动学方程为r?Rcosti?Rsintj，在任意时刻，切向加速度和法向加速度的大小分别为 ， 。
6．质点作圆周运动的法向加速度反映了 的变化快慢，切线加速度反映了 的变化快慢。
17.一质点沿半径为R的圆周按规律s??ot?bt2而运动, ?o,b都是常数.
2t时刻质点的总加速度为 ; t为 时总加速度在数值上等于b，当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了 圈。
二、回答问题
1．｜?r｜与?r 有无不同?
drdvdrdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明． dtdtdtdt解: ｜?r｜与?r 不同. ｜?r｜表示质点运动位移的大小,而?r则表示质点运动时其径向长度的增量;
drdrdrdr和不同. 表示质点运动速度的大小,而则表示质点运动速度的径向分dtdtdtdt量;
dvdvdvdv和不同. 表示质点运动加速度的大小, 而则表示质点运动加速度的切向分量. dtdtdtdt2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线
运动？
解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动. 3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是
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恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.
三、计算题
1．一物体做直线运动，运动方程为x?6t?2t，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。
23x(t)?6t2?2t3dx?12t?6t2 解: 由于: v(t)?dtdva(t)??12?12tdt所以:（1）第二秒内的平均速度: v?x(2)?x(1)?4(ms?1)
2?1 （2）第三秒末的速度:
v(3)?12?3?6?32??18(ms?1) （3）第一秒末的加速度: a(1)?12?12?1?0(ms?2) （4）物体运动的类型为变速直线运动。
2．一质点运动方程的表达式为r(t）（1）质点?10t2i?5tj，式中的r,t分别以m,s为单位，试求；的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。 解: （1）质点的速度:
????dr?20ti?5j v?dt 质点的加速度:
???dv?20i a?dt2 （2）质点的轨迹方程:
由x?10t,y?5t联立消去参数t得质点的轨迹方程: y?25x 23．一人自坐标原点出发，经过20s向东走了25m，又用15s向北走了20m，再经过10s向西南方向走了15m，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。
解: 取由西向东为x轴正向, 由南向北为y轴正向建立坐标系.则人初始时的位置坐标为(0,0), 经过20s向东走了25m后的位置坐标为(25,0), 又用15s向北走了20m后的位置坐标为(25,20), 再经过10s向西南方向走了15m后的位置坐标为(25?7.52,20?7.52).于是: （1）全过程的位移和路程:
2
????r?[(25?7.52)i?(20?7.52)j](m)?s?25?20?15?60(m)
（2）整个过程的平均速度和平均速率:
???41?51??v??r/?t?[(25?7.52)i?(20?7.52)j]/?t?[(?2)i?(?2)j](m/s)9696
4v??s/?t?60/45?(m/s)34．一质点在xOy平面上运动，运动方程为
x=3t+5, y=
式中t以 s计，x,y以m计．
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t+3t-4. 2(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式，分别求出第一秒和第二秒内质点的位移； (2)求出质点速度矢量的表示式，计算t＝4 s 时质点的瞬时速度；
(3) 求出质点加速度矢量的表示式，并计算t＝0s到t＝4s 内质点的平均加速度。
解: （1） r?(3t?5)i?(t?3t?4)j(m)
将t?0，t?1,t?2分别代入上式即有
??122????rt?0s?5i?4j(m) ???rt?1s?8i?0.5j (m) ???rt?2s?11i?4j(m)
第一秒内质点的位移：
??????r?rt?1s?rt?0s?3i?3.5j(m)
第二秒内质点的位移
??????r?rt?2s?rt?1s?3i?4.5j(m)
????dr?3i?(t?3)jm/s (2) v?dt???vt?4s?3i?7jm/s
???dv?1jm/s2 (3) a?dt???????v?v(3i?7j)?(3i?3j)?t?0s??1jm/s2 a?t?4s4?045.质点的运动方程为r(t)?8cos(2t)i?8sin(2t)j(m)，求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小；（2）质点的切向加速度和运动轨迹。
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解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小:
??drv???16sin(2t)i?16cos(2t)j(ms?1)dt??d2ra?2??32cos(2t)i?32sin(2t)j(ms?2)dt
v?(v?v)?16(ms?1)a?(a?a)?32(ms?2)（2）质点的切向加速度: a??2x2y122x2y12dv?0(ms?2) dt 运动轨迹: 由
x?8cos(2t)222消去t得x?y?8
y?8sin(2t)36．一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，求：(1)
t＝2 s?时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解: (1) t＝2 s?时，质点的切向和法向加速度
d????9t2dtd????18t dta?t?2s?R?t?2s?18tt?2s?36ms?2ant?2s?R?2t?2s?(9t2)2t?2s?1296ms?23 (2)当加速度的方向和半径成45°角时的角位移: 令 a?/an?tg45??1 得到:t? 因此 ??2?3?2 92?6.67Rad 9故 ??????0?2.67?2?0.67Rad
7、一质点沿X轴运动，其加速度a?3?2t，如果初始时刻v0?5ms,t?3s时，则质点的速度大小为多少？ 解:
?1 4
dv?3?2tdtv dv?5??30(3?2t)dt
v?23(ms?1)
8．已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s，开始运动时，x＝5 m，?v =0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置． 解：∵ a??2dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 3v?4t?t2?c1
2由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0
32t 2dx3?4t?t2 又因为 v?dt232分离变量， dx?(4t?t)dt
2132积分得 x?2t?t?c2
2故 v?4t?由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5 故 x?2t?所以t?10s时
213t?5 23v10?4?10??102?190(m?s?1)2
1x10?2?102??103?5?705(m)2 9．一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式． 解:
5
dv?4tdtv?dv??4tdt00tv?2t2(ms?1) dx?2t2dtx102dx?2t??dt0t
2x?10?t3(m)310．在一个无风的雨天，一火车以20m?s的速度前进，车内旅客看见玻璃上雨滴的下落方向与竖直方向成75，求雨滴下落的速度（设雨滴做匀速运动）。
解:由题意,牵连速度v0?20ms?1,相对速度与竖直方向成75,绝对速度竖直向下.于是:
???1
v?tg750 由此得到: v0v?v0tg750?5.36(ms?1)
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