一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 设A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3), 且|A|=1, 则 |B| = ( 2 ).
2. 向量组?1?(1, 2, 3, 4), ?2?(2, 3, 4, 5), ?3?(3, 4, 5, 6), ?4?(4, 5, 6, 7)的秩为( 2 ).
?O2A?3. 设A,B为同阶可逆矩阵，则??BO??=.
???1
?1??3?14. 设矩阵A???6??1??213?26a1??3?1??为正交矩阵, 则a = ( 0 ), b = ( 6?b??? ).
?1?11???4a?，且A的特征值为?1?6,?2??3?2. 如果A有属于特征值25. 设A??2??3?35???的两个线性无关的特征向量，则a = ( -2 ).
二、单项选择题(每小题3分，共15分)
111111?x111. 方程?0的所有根为( A ).
112?x11113?x(A) 0，1，2
(C) 0，1，2，3
(B) 1，2，3 (D) 1，2，3，4
2. 设n阶方阵A的行列式A?0，则A中( C ). (A) 必有一列元素全为0
(B) 必有两列元素对应成比例
(C) 必有一列向量可有其余列向量线性表示 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 3. 下列各向量组线性相关的是( B ).
(A) α1?(1,0,0),α2?(0,1,0),α3?(0,0,1)
(B) α1?(1,2,3),α2?(4,5,6),α3?(2,1,0) (C) α1?(1,2,3),α2?(2,4,5)
(D) α1?(1,2,2),α2?(2,1,2),α3?(2,2,1)
4. 设n阶矩阵A满足A?A, 则A的特征值为( D ). (A) 0 (B) 1 (C) ?1 5. 下列关于x1,x2,x3的二次型正定的是( A ).
2222(A) x1 (B) x12?2x2 ?2x1x2?2x2?x32222(C) x1 (D) x12?2x1x2?2x2 ?2x1x2?2x2?x32(D) 0或1.
三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)
1. 已知A、B为n阶方阵，则AB?BA. ( × ) 2. 设向量组α1,α2,?,αm的秩为r, 则r < m. ( × )
3. 设A、B为m?n矩阵，且R(A) = R(B)， 则存在可逆矩阵P、Q，使PAQ = B. ( √ ) 4. 若线性方程组Ax = 0有非零解, 则Ax = b ≠ 0有无穷多个解. ( √ ) 5. 设??2是矩阵A的特征值，则??412是矩阵A的特征值. ( √ )
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四、(10分) 计算行列式
1?x1
解：
111111?x1111?y1111?y.
Solution
.
1?1??1??1?，A*X?A?1?2X，其中A*是A的伴随矩阵，五、 (10分) 设A???11?1?11???求X.
解：
Solution 因为根据于是
，有，因而
, 所以A可逆. 由于
，进而.
, .
由于，
所以
六、 (10分)求下列线性方程组
?x1?2x2?x3?3x4?x5?2??2x1?4x2?2x3?6x4?3x5?6. ??x?2x?x?x?3x?412345?解：
Solution 由于
于是R(A) = R(B) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可
分别取为.
而原线性方程组的特解可取为，因此，原线性方程组的通解为
(
为任意常数).
?110??000?????七、(10分)已知矩阵A??110?与B??030?相似.
?003??00x?????(1) 求x.
(2) 求可逆矩阵P，使得PAP?B.
解：
Solution 由于A与B相似，于是特征值为0, 3, 2.
，由此可得出x = 2，进而A的
?1当时，A对应的特征向量为。
当时，A对应的特征向量为。
当时，A对应的特征向量为。
取
，有.
八、证明题(共15分, 第1题7分，第2题8分)
1. 设向量组A:α1,α2,?,αm线性无关, 向量β1可由向量组A线性表示, 而向量β2不能由向量组A线性表示. 证明向量组α1,α2,?,αm,β1?β2必线性无关.
Proof 假设使得
关，矛盾.
由于k10, 因此量组
线性表示, 而向量
不能由向量组
线性相关，则存在不全为0的数
, 可证k10,否则
，线性相
，又因为向量
线性表示，与已知条件向量
可由向
不能由向量组
线性表示矛盾. 所以
2. 证明： (1)可逆方阵无特征根0.
设A为n阶可逆矩阵, A的n个特征值为无特征值0.
线性无关.
，，…, , 则有, 故A
1(2)若?0为可逆方阵A的一个特征根,则??0是A的一个特征根.
?1设x为属于特征值(1)知，
，于是
的特征向量, 则有Ax =
, 即
是
x,
的一个特征值.
,即. 由