《2.3.1离散型随机变量的均值》教学案4
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ能熟
练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文
价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念 B（n,p），则Eξ=np”.
教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若?是随机变量，??a??b,a,b是常数，则?也是随机变量 并且不改变其属性
（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(??xi)?pi，则称表
ξ x1 P1 x2 P2 … … xi Pi … … P 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kPn(??k)?Cnpkqn?k，（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
00nCnpq1
11n?Cnpq… k kkn?Cnpq… n nn0CnpqP … …
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，
kkn?k并记Cnpq＝b(k；n，p)．
8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“??k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为Ak、事件A不发生记为Ak，P(Ak)=p，P(Ak)=q(q=1-p)，那么
P(??k)?P(A1A2A3Ak?1Ak)?P(A1)P(A2)P(A3)P(Ak?1)P(Ak)?qk?1p（k＝
0,1,2,…， q?1?p）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
…
k …
P p pq
q2p…
qk?1p…
称这样的随机变量ξ服从几何分布 记作g(k，p)= q二、讲解新课：
k?1p，其中k＝0,1,2,…， q?1?p．
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ
4 0.
5 0.04
6 0.06
7 0.09
8 0.28
9 0.29
10 0.22
P 02
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数ξ的分布列，
我们可以估计，在n次射击中，预计大约有
P(??4)?n?0.02n 次得4环；
P(??5)?n?0.04n 次得5环； …………
P(??10)?n?0.22n 次得10环．
故在n次射击的总环数大约为
4?0.02?n?5?0.04?n???10?0.22?n
?(4?0.02?5?0.04???10?0.22)?n，
从而，预计n次射击的平均环数约为
4?0.02?5?0.04???10?0.22?8.32．
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．
对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个P(??i)（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
0?P(??0)?1?P(??1)?…?10?P(??10)．
1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
xξ 1 2 x… n x… p… … n pP 1 2 p则称 E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2?…
?pn，则有p1?p2?…?pn?称为平均数、均值 11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又nn4. 均值或期望的一个性质:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn … η ax1?b ax2?b … axn?b… P p1 p2 … pn … 于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axn?b)pn?…
＝a(x1p1?x2p2?…?xnpn?…)?b(p1?p2?…?pn?…) ＝aE??b，
由此，我们得到了期望的一个性质:E(a??b)?aE??b 5.若ξ
B（n,p），则Eξ=np
证明如下：
kkn?kkkn?k?Cnpq， ∵ P(??k)?Cnp(1?p)00n11n?122n?2kkn?k∴ E??0×Cnpq＋1×Cnpq＋2×Cnpq＋…＋k×Cnpq＋…＋nnn0×Cnpq．
又∵ kCn?k?kn!n?(n?1)!k?1??nCn?1，
k!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!11n?200n?1k?1k?1(n?1)?(k?1) ∴ E??np(Cn?1pq＋Cn?1pq＋…＋Cn?1pq＋…＋n?1n?10Cnq)?np(p?q)n?1?np． ?1p故 若ξ～B(n，p)，则E??np． 三、讲解范例：
例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分?的期望 解：因为P(??1)?0.7,P(??0)?0.3， 所以E??1?0.7?0?0.3?0.7 例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?，则?~ B（20,0.9）,?~B(20,0.25),
?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5?和5? 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25 例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水．