习题3
一、填空题
1.若二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y)x2?y2?R2}上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为 。
?1? f(x,y)???R2??0X pk x2?y2?R2其他
2.设随机变量X与Y相互独立，具有相同的分布律 0 0.4 1 0.6 则max{X,Y}的分布律为 。 max{X,Y} pk 0 0.16 1 0.84 3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布见下表，则(1)关于X的边缘分布律为 ；(2)关于Y的边缘分布律为 。 X Y 1 2 3 p.j 0 1/6 1/12 1/4 1/6 1/6 1/6 1/2 1/12 1/6 0 1/4 1/4 1/2 1/4 1 1 2 3 Pi. 4.设随机变量X与Y相互独立，X在区间(0,2)上服从均匀分布，Y服从参数为??1的指数分布，则概率P{X?Y?1}? 。
11?e?1
2?bx0?x?y?15.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)??，则P{X?Y?1}=
0其他? 。
1 46. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间(0,3)上对的均匀分布，则P{max{X,Y}?1}= 。
1 97.设随机变量
Xi -1 p 0 1 1/4 1/2 1/4 i=1,2,且满足P{X1X2?0}?1，则P{X1?X2}? 。 0
8.如图3.14所示，平面区域D由曲线y?
1
及直线y?0,x?1,x?e2所围成，二维随机变x
量(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为 。
1 49.设X,Y为两个随机变量，且P{X?0,Y?0}?34，P{X?0}?P{Y?0}?，则 77P{max{X,Y}?0}= 。 5 710.设随机变量X与Y相互独立，X~B(2,p),Y~B(3,p)，且P{X?1}?5，则 9P{X?Y?1}? 。 80 243二、选择题
1.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}=
1P{Y?1}?,则下列各式中成立的是( ) A
21(A)P{X?Y}?, (B) P{X?Y}?1
211(C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?1}?
442.设随机变量X与Y独立，且P{X?1}?P{Y?1}?p?0，
P{X?0}?P{Y?0}?1?p?0，令 ?1Z???0X?Y为偶数X?Y为奇数
要使X与Z独立，则p的值为( ) C (A)
1112 (B) (C) (D) 34233. 设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，则( ) B
1 (B) P{X?Y?1}?21(C) P{X?Y?0}? (D) P{X?Y?1}?2(A)P{X?Y?0}?4.已知 X p 0 1/2 1 1/2
Y p 1 21 20 1/4 1 3/4 1，则P{X?Y}?( ) C 2123(A) (B) (C) (D) 1
444且P{XY?1}? 5.已知(X,Y)在区域D?{(x,y)?a?x?a,?a?y?a}(a?0)上服从均匀分布，则概率
P{X2?Y2?a2}?( ) C
(A)随a的增大而增大 (B) 随a的增大而减小 (C)与a无关是个定值 (D) 随a的变化增减不定
6.设随机变量X和Y的联合分布函数为F(x,y)，而F1(x)和F2(x)相应为X和Y的分布函数，则对任意a,b，概率P{X?a,Y?b}=( ) B (A)1?F(a,b) (B)F(a,b)?1?[F1(a)?F2(b)] (C) 1?F1(a)?F2(b) (D) F(a,b)?1?[F1(a)?F2(b)]
7. .设二维随机变量(X,Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及直线
y?2x?1所围成的三角形区域，则(X,Y)的关于X的边缘概率密度为( ) B
?x?0?x?0?8x?2?1?8x?4?122(A)fX(x)?? (B) fX(x)??
0其他0其他???x?0?x?0?4x?2?1?4x?4?122(C) fX(x)?? (D) fX(x)??
其他其他?0?0y轴以及直线x?8.设平面区域G是由x轴，
y?1所围成的三角形区域，二维随机变量(X,Y)2在G上服从均匀分布，则fXY(xy)?( ) A
?2?(A) fXY(xy)??2?y??00?x?1?y?2?2 (B) fXY(xy)??1?y?其他?00?x?1?其他y2
?1?(C) fXY(xy)??2?y??00?x?1?y?1?2 (D) fXY(xy)??1?y?其他?00?x?1?其他y2
三、解答题
1.将两封信任意地投入3个空邮筒中，以X、Y分别表示放入第1、2号邮筒中信的数目，
求:(1)(X,Y)的分布律，(2)第3号邮筒中至少有一封信的概率. 解 X、Y各自可能的取值均为0、1、2， (1) (X,Y)的分布律为：
Y 0 1 X 0 1/9 2/9 1 2/9 2/9 2 1/9 0
(2) 第3号邮筒中至少有一封信的概率：
P{X+Y≤1}=P{X=0, Y=0}+P{X=0, Y=1}+P{X=1, Y=0}=5/9
2.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： Y X 1 2 3 1/4 1/16 0 0 1/4 1/16 0 0 1/16 1/16 1/4 0 1 2 3 4 求：(1)P{1?X?3,0?Y?4};(2)P{1?X?2,3?Y?4}. 22解：(1) P{1?X?3,0?Y?4}=P{X?1,Y?1}+P{X?1,Y?2}+P{X?1,Y?4}=1/4. 22(2)P{1?X?2,3?Y?4}= P{X?1,Y?3}+P{X?1,Y?4}+P{X?2,Y?3} +P{X?2,Y?4}=5/16.
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?43.设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k；
（2）求P {X<1, Y<3}；
（3）求P (X<1.5} ； （4）求P (X+Y≤4}。
分析：利用P {(X, Y)∈G}=
??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中
GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127(6?x?y)dy? 28324?20dx?4?x012(6?x?y)dy? 834. 设(X,Y)在曲线y?x2,y?x所围成的区域G内服从均匀分布，求：(1)f(x,y); (2)P{X?Y?1}. 解：(1) 区域G的面积为：
SG???dxdy??(x?x2)dx?G011 6?60?x?1,x2?y?x于是：f(x,y)??。
0其他?(2) P{X?Y?1}=
??1x0x26dydx?1
5. 已知随机变量X1和X2的概率分布为：
X1 -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4
X2 P 0 1 1/2 1/2 而且P{X1X2?0}?1，求X1和X2的联合分布律。
解：由题意知P{X1X2?0}?0，于是P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2?1}?0，由联合，边缘分布律的关系，得下表： X2 X1 -1 0 1 p.j 1/4 0 1/4 1/2 0 1/2 0 1/2 1/4 1/2 1/4 1 0 1 Pi. 6. 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为