P{U?2,V?2}?P{X?2,Y?2}?P{X?2}P{Y?2}?19 P{U?3,V?3}?P{X?3,Y?3}?P{X?3}P{Y?3}?192 P{U?2,V?1}?P{X?2,Y?1}?P{X?1,Y?2}?92 P{U?3,V?1}?P{X?3,Y?1}?P{X?1,Y?3}?92 P{U?3,V?2}?P{X?2,Y?3}?P{X?3,Y?2}?9于是，U,V的联合分布律为
U V 1 2 3
16. 设(X,Y)的概率密度为
1 1/9 0 0
2 2/9 1/9 0
3 2/9 2/9 1/9
?1?(x?y)e?(x?y)f(x,y)??2?0?x?0,y?0其他
(1)问X与Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度。 解 (1)fX(x)?????????x1?(x?y)??(x?1)e??1(x?y)edyx?02f(x,y)dy??02??0?0其他??x?0其他
；
fY(y)?????????y1?(x?y)??(y?1)e??1(x?y)edxy?02f(x,y)dx??02??0?0其他??y?0其他因为，f(x,y)?fX(x)fY(y)，故X与Y不相互独立。 (2) 因为fZ(z)??????f(x,z?x)dx，而
x?0,z?x?0其他?1?z?zef(x,z?x)??2??0于是
fZ(z)??????z2?z?z??1ze??1zedxz?02f(x,z?x)dx??02???0z?0?0?z?0z?0。
17. 设随机变量X与Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。
解 X的密度函数为
?10?x?1 fX(x)??其他?0Y的密度函数为
?e?yfY(y)???0y?0 其他因为X与Y相互独立，于是
?e?yf(x,y)?fX(x)fY(y)???0同时
0?x?1,y?0
其他?e?(z?x)f(x,z?x)???00?x?1,z?x?0
其他随机变量Z=X+Y的概率密度
?z?00??z0????fZ(z)??f(x,z?x)dx???e?(z?x)dx0?z?1??1?e?z??0?1?(z?x)?e1?z?e?z?edxz?1???0
z?00?z?1 z?118.已知X,Y相互独立，若X与Y分别服从(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U?max{X,Y}和
V?min{X,Y}的概率密度。
解 X的密度函数和分布函数分别为
x?0?0?10?x?1? FX(x)??x0?x?1 fX(x)??其他?0?11?x?Y的密度函数和分布函数分别为
y?0?00?y?2?1? FY(y)??y/20?y?2 fY(y)??2其他?0?12?y?因为X,Y相互独立，于是U?max{X,Y}的分布函数为
u?0?0?u2/20?u?1? FU(u)?FX(u)FY(u)???u/21?u?2?2?u?1U的密度函数为
?u0?u?1?fU(u)??1/21?u?2
?0其他?V?min{X,Y}的分布函数为
?0?3vv2FV(v)?1?[1?FX(v)][1?FY(v)]????22?1V的密度函数为
v?00?v?1 1?v?v0?x?1?3fV(v)??2
0其他?19.设(X,Y)的概率密度为
x2?y221?f(x,y)?e2?求Z?解 Z?,???x???,???y???
X2?Y2的概率密度。
X2?Y2的分布函数为FZ(z)，当z?0时，显然FZ(z)?0，当z?0时，有
FZ(z)?P{Z?z}?P{X2?Y2?z}?P{X2?Y2?z2}
=
12?x2?y2?z??e?x2?y221dxdy?2??2?0d??redr?1?e0z?r22?z22
求导得Z的概率密度函数
z??ze?2fZ(z)????02z?0 z?0120.设随机变量X与Y相互独立，X的分布律为P{X?i}?,i??1,0,1,3?10?y?1 Y的概率密度为fY(y)??，记Z?X?Y,求其他?01(1)P{Z?|X?0};(2)Z的概率密度fZ(z).2解 (1) P?Z??????111?1?X?0??P?X?Y?X?0??P?Y??=. 222?2????(2) Z的分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
①当z?2时，FZ(z)?P{X?Y?z}?P(S)?1。
②当z??1时，FZ(z)?P{X?Y?z}?P(?)?0。
③当?1?z?2时，FZ(z)?P{X?Y?z}=P{X?Y?zX??1}P{X??1}
+P{X?Y?zX?0}P{X?0}+P{X?Y?zX?1}P{X?1}
=1(P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}) 31)当?1?z?0时，FZ(z)?1P{Y?z?1}?1(z?1) 332)当0?z?1时，FZ(z)?1(P{Y?z}?1)?1(z?1) 333)当1?z?2时， FZ(z)?1(P{Y?z?1}?1?1)?1(z?1) 33于是，综上所述，
z??1?0?FZ(z)??1(z?1)?1?z?2 3?1z?2?故，Z的概率密度为
?1?z?2?13fZ(z)??
0其他??3x0?x?1,0?y?x21.设随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)?? 其他?0求：Z?X?Y的概率密度函数。解 Z的分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?x?y?z??f(x,y)dxdy
①当z?0时，FZ(z)?0。
②当0?z?1时，FZ(z)?P{X?Y?z}?x?y?z??f(x,y)dxdx
=
?z0dx?3xdy??0x1x?zdx?zx?z3xdy?31z?z3 22③当z?1时，FZ(z)?1。 故Z的分布函数为
?0?FZ(z)??3z?1z322?1?Z的概率密度为
z?00?z?1 z?1?3(1?z2)0?z?12fZ(z)??。
0其他?