Ax=0有非零解?r(A)?n? A的列向量组线性相关． 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为??(1,0,2)T，??(1,?1,3)T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2，方程组的通解可表为（ C ） A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T B．(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C．(1,0,2)T+k (0,1,-1)T
D．(1,0,2)T+k (2,-1,5)T
??(1,0,2)T是Ax=b的特解，????(0,1,?1)T是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解可表为??k(???)?(1,0,2)T+k (0,1,-1)T． ?9．矩阵A=?111??111???的非零特征值为（ B ）
?111??A．4 B．3 C．2
D．1
??1?1?1??3??3??3111|?E?A|??1??1?1??1??1?1?(??3)?1??1?1 ?1?1??1?1?1??1?1?1??1111?(??3)0?0??2(??3)，非零特征值为??3． 00?10．4元二次型f(x21,x2,x3,x4)?x1?2x1x2?2x1x3?2x1x4的秩为（ C ）
A．4 B．3 C．2 D．1
??1111?111?000?A??1000??0???0?100??1???111???1000???000??0000?，秩为2． ??1000???0???0000????0???0000???二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） a1b1a1b2a1b311．若aibi?0,i?1,2,3,则行列式a2b1a2b2a2b3=__0__． a3b1a3b2a3b3行成比例值为零． 12．设矩阵A=??12??T
34??，则行列式|A??A|=__4__．
6
|ATA|?|AT||A|?|A|2?12342?(?2)2?4． ?a11x1?a12x2?a13x3?0?13．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为__0__．
?ax?ax?ax?0322333?311?101?
??
14．设矩阵A=?020?，矩阵B?A?E，则矩阵B的秩r(B)= __2__．
?001????001???B?A?E=?010?，r(B)=2． ?000???15．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为__2__． 16．设向量??(1,2,3)，??(3,2,1)，则向量?，?的内积(?,?)=__10__．
17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)= __3__． 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：
3?1??1?2??A??02?12?，若方程组无解，则a的取值为__0__．
?00a(a?1)a?1???a?0时，r(A)?2，r(A)?3． 22219．设3元实二次型f(x1,x2,x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是y1． ?y2?y3222秩r?3，正惯性指数k?2，则负惯性指数r?k?3?2?1．规范形是y1． ?y2?y310??1??20．设矩阵A=?12?a0?为正定矩阵，则a的取值范围是a?1．
?003???11011?1?1?0，?2??1?a?0，?3?12?a0?3(1?a)?0?a?1． 12?a003 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
7
12323321．计算3阶行列式249499． 367677123233100203解：249499?200409?0．
367677300607?101?22．设A=??210?? ，求A?1．
???32?5????101100??101100??101100?解：?210010?? ???01?2?210??? ???01?2?210?? ??32?5001????02?2301????0027?21???202200??200?52?1??1?5/21?1/2????01?2?210?? ???0105?11?? ??00?0105?11??? ，?0027?21????0027?21????0017/2?11/2???A?1???5/21?1/2??5?11???． ?7/2?11/2??23．设向量组?1(1,?1,2,1)T，?2(2,?2,4,?2)T，?3(3,0,6,?1)T，?4(0,3,0,?4)T． （1）求向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．
??1230????1230??解：(?,???1?203??0033?1,?23,?4)???2460???0000? ??1?2?1?4??????0?4?4?4?????1230??12
3
0??10?3?0?3???0?4?4?4????0111?2???00??10???0033????0011???01???0100???11?0011?．
??0000?????
000
0?00?????0000??????0000???（1）?1,?2,?3是一个极大线性无关组；（2）?4??3?1?0?2??3．
?x1?x2?x5?024．求齐次线性方程组 ? ?x1?x2?x3 ?0的基础解系及通解．
?? x3?x4?x5?0
8
?11001??11001??11001???????解：A??11?100???00?10?1???00?10?1?
?00111??00111??00010????????x1??x2?x5??1???1???????11001??x2?x2?1??0?????x5， 基础解系为?0?，??1?，通解为 ??00101?，?x3??????00010??x?0?0??0????4?????x?x?0??1?5?5??k1(?1,1,0,0,0)T?k2(?1,0,?1,0,1)T．
?12??1?PAP为对角矩阵． 25．设矩阵A=?，求正交矩阵P，使?21???解：|?E?A|???1?2?2特征值?1??1，?2?3． ?(??1)2?4??2?2??3?(??1)(??3)，
??1对于?1??1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：
?x1??x2??2?2??11???1??????，，基础解系为 ，单位化为 ?E?A?????1?????????2?2??00??1??x2?x2?1????11??1??2?； ???1??1????|?1|2?1??1????2?对于?2?3，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：
?x1?x2?2?2??1?1??1???????，，基础解系为 ?E?A??????2?????，单位化为 ?22001x?x??????2?2??11?1?????2??2????|?2|2?1????1??2?． 1??2??1??2令P???1??21???10?2?，则P是正交矩阵，使P?1AP????03??． 1????2? 9
?1??1?????1???0?26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：?1???， ?2???．
?0???1??0????0??解：正交化，得正交的向量组：
??1??1?????1??(?,??1)?0??1?1??1????1/2???1/2??1?1???0?，?2??2?2??|?2?1????????；1|?1?201? ?0????0?????0???????0??单位化，得正交的单位向量组：
??1????1/2????1/2??1/6??p11?1??1/2?12??1/2?????1/6?1?|??1?1|2??0????，p2??2??????． ???0?|?2|6?1??2/6??0????0????0????0??四、证明题（本大题6分）
27．证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则A?1也是上三角矩阵．
?a12a13?A21A31?证：设A??a11?0aa??AA?22?，则A?1111?1?23?22A?32?， ?00a|A|A?|A|?A1233????A13A23A33??其中A0a2312??0a?0，A?0a22aa1213?0?0，A23??1133000?0，
?AA21A31?所以A?1?1?11|A|?0A?22A?32?是上三角矩阵． ?00A33??
10