303252FFT Amplification20FFT Phase Angle (radian)0510FFT k1520115010-15-20-305
10FFT k1520图3.4.6 含噪声FFT的幅度谱和相位谱（弧度制）。
28点采样：
>> xs=sampJune3(28,0.1,0);%末尾的1表示有噪声。 >> DFT(28,xs); >> myFFT(28,xs);
4321
value0-1-2-3-4051015n202530
图3.4.7 进行28点采样得到的含噪声序列
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4035302520151050321Phase Angle (radian)010k2030Amplification0-1-2-3-4010k2030图3.4.8 含噪声DFT的幅度谱和相位谱（弧度制）。
40353025201510504
3FFT Phase Angle (radian)010FFT k20302FFT Amplification10-1-2-3010FFT k2030
图3.4.9 含噪声FFT的幅度谱和相位谱（弧度制）。
【分析】
依然分别取12点、20点、28点采样。仍然与原信号的频谱X(?)?3?[?(??8?)??(??8?)]（图
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3.3.10）比较，可以得到结论：
由于叠加了噪声，所以频谱都受到了一定的干扰。由于白噪声在各个频率的功率相等，因此频谱上各处的干扰也是均匀随机的。
不过，通过对比我们可以发现，20点采样（无噪声时不发生泄漏的采样方法）在存在噪声时，仍然可以明显区分出原信号的谱线。第二好的是28点采样，因为采样时间较长，即使存在频谱泄漏也能较好地区分原信号的谱线。而最差的是12点采样，由于噪声的存在和严重的频谱泄漏，它的次谱线与主谱线的高度相差不大，使原信号不明显。
3.5已知序列x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)，X(k)是x(n)的6点DFT，设W（1）若有限长序列y(n)的6点DFT是Y(k)?W6?4k?kN?ej2?kN。
X(k)，求y(n)。
（2）若有限长序列w(n)的6点DFT W(k)是X(k)的实部，求w(n)。 （3）若有限长序列q(n)的3点DFT是Q(k)?X(2k)，k=0,1,2，求q(n)。
【解答】
思路：这是对DFT进行变换后求IDFT。考虑到IDFT和DFT定义的对称性，可以在DFT的基础上略加调整既可用于计算。
首先，∵x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)，
∴它的6点采样是序列是x(n)?{4,3,2,1,0,0}。值得指出的是，在Matlab中，数组的序号是从1开始的（而在信号分析中习惯从0开始），不过我在上面编程时已考虑到这一情况，具体可见实验报告最后的“附录”。 首先生成x(n)的6点DFT，再按照各小题分别转换，最后求相应的IDFT。 M文件源代码：
i) 输出x(n)的6点DFT的函数：
function X = ExportDFT(N,x)
%This is a DFT function that exports the solution to vector X.
k=(0:N-1); Tfine variable k for DFT.
X=zeros(size(k)); Tfine the initial valves of X. for i=0:N-1
X=X+x(i+1)*exp((-1)*j*2*k*pi/N*i); %It is the definition of DFT. end end
ii)算第（1）小题的Y(k)的函数： function Y = Convertor1(X)
%This is a mathematical convertor for the subproblem (1). for k=1:6
Y(k)=exp((-j)*2*pi*(-4*(k-1))/6)*X(k);
%Here we must use (k-1),because in Matlab index starts at 1. end end
iii)算第（2）小题的W(k)的函数： function W = Convertor2(X)
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%This is a mathematical convertor for the subproblem (2). W=real(X);?quire the real part of X. end
iv)算第（3）小题的Q(k)的函数： function Q = Convertor3(X)
%This is a mathematical convertor for the subproblem (3). Q=zeros(3);% Detailed explanation goes here for tmp=1:3
Q(tmp)=X(2*tmp); end end
v)输出IDFT的函数：
function x = ExportIDFT(N,X)
%This is the IDFT function for my experiment. n=(0:N-1);Tfine variable n for IDFT.
x=zeros(size(n));Tfine the initial valves of x. for k=0:N-1
x=x+X(k+1)*exp(j*2*k*pi/N*n); end x=x/N;
a=real(x);%We MUST use real(x), though we may ALREADY know x is real. %It's caused by numeric calculation (not analytic calculation) in Matlab. stem(n,a,'.','MarkerSize',18);xlabel('n');ylabel('Solution'); end
命令窗口中的运行及其结果： >> x=[4,3,2,1,0,0]; >> X=ExportDFT(6,x);
第（1）小题
>> Y=Convertor1(X); >> y=ExportIDFT(6,Y) y =
Columns 1 through 4
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
%虚部都是0，说明是实数
Columns 5 through 6
2.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i %虚部都是0，说明是实数
%事实上，在Matlab中，由于数值计算的截断误差，对原复数做乘法后，答案的虚部可能有一极小的量。
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43.532.5Solution21.510.50-0.5答案：y(n)={0,0,4,3,2,1}
图3.5.1 输出的y(n)，这是对x(n)的圆周移位。
012n345
第（2）小题
>> W=Convertor2(X); >> w=ExportIDFT(6,W) w =
Columns 1 through 4
4.0000 + 0.0000i 1.5000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i
%虚部都是0，说明是实数
Columns 5 through 6
1.0000 + 0.0000i 1.5000 + 0.0000i %虚部都是0，说明是实数；
%事实上，在Matlab中，由于数值计算的截断误差，对原复数做乘法后，答案的虚部可能有一极小的量。
43.532.5Solution21.510.50答案：w(n)={0,0,4,3,2,1}
图3.5.2 输出的w(n)。
012n345
第（3）小题
>> Q=Convertor3(X); >> q=ExportIDFT(6,Q) q =
Columns 1 through 4
1.5000 - 0.0000i -0.1667 - 0.2887i 0.7500 - 1.2990i 0.8333 - 0.0000i Columns 5 through 6
-0.5000 - 0.8660i 1.0833 - 1.8764i
这里的答案都是幅值、相位均非0的复数，而教材（实验指导第109页）并未要求作图，这里略去。
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