18. （本小题满足14分）已知函数f(x)?x?ax3(a?0)，g(x)?sinx． (1)若a?3，求函数y?f(x)的极值； (2)当x?[0,?2]时g(x)?f(x)恒成立，求a的取值范围；
1116n2?2n?1(3)若n?N,n?2，求证：求证：sin1?2sin?3sin???nsin?．
23n6n
温州中学2011学年第二学期期末考试
高二数学答案(理科)
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 B 10 D
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.） 11.?1133 12.{?4,?2,0,2,4} 13.[?,] 14.a?且a?1 15.[?2,?1]
224221?3，所以a1?
31?a1三、解答题（本大题共3小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解：（1）n?1时有
n?2时，有
111?????(n?1)2?2(n?1) 1?a11?a21?an?1从而
2n1，此式对n?1也适用 ?2n?1，得an?2n?11?an综上，an?2n……………………………………………………………6分 2n?12n?(2n?1)[n?8?(?1)n]n?n?8?(?1)得??（2）由 2n?12n2n2?15n?818?(2n??15) n为奇数时，??2n2n当n?1时，
182121(2n??15)取得最小值?，所以此时有??? 2n222n2?17n?818?(2n??17) n为偶数时，??2n2n182525(2n??17)取得最小值，所以此时有?? 2n2221综上，?的取值范围是???………………………………………………….12分
2当n?2时，
17．解（1）
sin(A?B)sinCc3…………….........4分 ???sinA?sinBsinA?sinBa?b2（2）由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?2ab(1?cosC)，代入a?b?4及c?23得ab?2
1?cosC12?(a?b)2?4得cosC??，所以0?C? 由ab?
234从而S?1sinCabsinC??21?cosC2sinCCcos22?tanC?tan??3
C232cos22当C?2?,a?b?2时取到等号. 3综上，S的最大值为3………………………………………………………….9分 （3）易得CD?212CA?CB 33b24a24a2?b2?c22a2?b2?8488??ab???(a?)2?? 所以|CD|?9992ab3399即|CD|?4822 当a?,b?时取到等号
333综上，|CD|的最小值为
22…………………………………………………..14分 3
18．解：（1）极大值为f()?13212，极小值为f(?)??…………………….4分 939（2）设h(x)?g(x)?f(x)?sinx?ax3?x
h'(x)?cosx?6a x?3ax2?1 h''(x)??sinx?6ax h'''(x)??cos注意到h(0)?h'(0)?h''(0)?0 若0?6a?1即0?a?1?，?x0?(0,)，使h'''(x0)?6a?cosx0?0 62x
h'''(x) h''(x)
(0,x0)
h'''(x)?h'''(x0)?0
递减，h''(x)?h''(0)?0 递减，h'(x)?h'(0)?0 递减，h(x)?h(0)?0
(x0,)
2?h'''(x)??h'''(x0)?0
h'(x) h(x)
这与题目要求矛盾.
若6a?1即a?1??， 当x?[0,]时h'''(x)?0，进而h''(x)在[0,]上递增，从而622h''(x)?h''(0)?0，于是h'(x)[0,]上递增，所以h'(x)?h'(0)?0，故h(x)在[0,]上
22递增，所以h(x)?h(0)?0恒成立，满足题目要求.
综上所述，a的取值范围是a???1………………………………………………..9分 6x3sinxx2?1?（3）由（2）知当x?(0,1)时有sinx?x?即
6x6 所以nsin1?nsin1n?1?1 从而 16n2n111111sin1?2sin?3sin???nsin?(1?)?(1?)???(1?)2223n66?26n11111111????) ?n?(1?2?2???2)?n?(1?
661?22?3(n?1)n23n116n2?2n?1?n?(2?)?6n6n 证毕……………………………14分