元)为
C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,
求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：Cx(x,y)?60x?10y,Cy(x,y)?10x?40y,
?Cx(4,3)?270,Cy(x,y)?160.
经济含义:当A,B两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B水泥产量不变，而A水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A水泥产量不变，而B水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。
6. 设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为
Q=400－2p+0.03y.
求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义. 解：
Qp(p,y)??2,Qy(p,y)?0.03,
Qp(25,5000)??2,Qy(25,5000)?0.03.
经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.
习题7-4
1. 求下列函数的全微分： (1) z=4xy3+5x2y6；
(2) z?1?x2?y2
(3) u=ln(x－yz)； (4) u?x?siny?eyz 2解：(1) ?z?4y3?10xy6,?z?12xy2?30x2y5,
?x?y所以 dz?2y3(2+5xy3)dx?6xy2(2+5xy3)dy.
?y?z?x?z?,?, (2)
22?y22?x1?x?y1?x?ydz?所以 ?x1?x?y22dx??y1?x?y22dy.
?y(3) ?u?1,?u??z,?u?,
?xx?yz?yx?yz?zx?yz?y1?z所以 du?dx?dy?dz.
x?yzx?yzx?yzy(4) ?u?1,?u?1cos?zeyz,?u?yeyz,
?x?y22?zy1du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz. 所以 22y
2. 计算函数z=x在点(3，1)处的全微分. 解：?z?yxy?1,?z?xylnx,
?x?ydz?yxy?1dx?xylnxdy. 所以 dz(3,1)?dx?3ln3dy.
3. 求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.
- 6 -
?z?3,?2, 解：?z?y,?z?x,所以?z?x(2,3)?y(2,3)?x?y?z??z?z?x??y?0.3?0.4?0.7 ?x(2,3)?y(2,3)?
dz(2,3)?3dx?2dy.
4. 计算 (1.04)2.02的近似值.
设函数f(x,y)=xy.x=1,y=2,Δx=0.04,Δy=0.02.
f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,
fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.
由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得
?
?(1.05)3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.
5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.
解：解 设圆柱的直径和高分别用x，y表示，则其体积为
V?f(x,y)?π(x)2y?1πx2y.
24于是，将所需的混凝土量看作当x+Δx=8+2×0.1，y+Δy=20+0.1与x=8，y=20时的两个圆柱体的体积之差ΔV(不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式
ΔV≈dV=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy.
又fx(x,y)?1πxy,fy(x,y)?1πx2，代入x=8，y=20，Δx=0.2，
24Δy=0.1，得到
11?V?dV???8?20?0.2???82?0.1?17.6??55.264.(m3).
243
因此，大约需要55.264m的混凝土.
习题7-5
1. 求下列函数的全导数：
(1) 设z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求导数dz；
dt(2) 设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x3,求导数dz;
dx(3) 设z=xy+sint,而x=et,y=cost,求导数dz.
dtdz?zdu?zdv解： (1) ????
dt?udt?vdt?3e3u?2v?2t?2e3u?2v?(?sint) ?6te3t?2cost?2sinte3t?2cost
dz?zdu?zdv???? (2)
dx?udx?vdx1?1 ??3??12x 21?(u?v)1?(u?v)23 ??(1?4x). 1?(3x?4x3)2dy(3) dz??z?dx??z???z
dt?xdt?ydt?t
- 7 -
22 ?y?et?x(?s?int)?c ots ?cost?et?etsti?ntc os2. 求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)： (1) 设z=u2v－uv2，而u=xsiny,v=xcosy，求?z和?z?x?y；
(2) 设z=(3x2+y2)4x+2y，求?z?x和?z?y；
(3) 设u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求?u和?u?x?y；
(4) 设w=f(x，x2y，xy2z)，求?w,?wy,?w?x??z.
解：(1)?z?x??z?u??u?x??z?v??v?x?(2uv?v2)siny?(u2?2uv)cosy
?(x2sin2y?x2cos2y)siny?(x2sin2y?x2sin2y)cosy?z?y??z?u??u?y??z?v??v?y?(2uv?v2)xcosy?(u2?2uv)xsiny ?(x2siny2?x2c2osyx)c?yos2x(2s?yin2xsyinx 2(2) 令u?3x2?y2,v?4x?2y,则z?uv. ?z?z?u?z?x??u??x??v??v?x?vuv?1?6x?uvlnu?4 ?6x?3x2?y2?4x?2y?1?4?3x2?y2?4x?2yln(3x2?y2)
?z?x??z?u??u?y??z?v??v?y?vuv?1?2y?uvlnu?2 ?2y?3x2?y2?4x?2y?1?2?3x2?y2?4x?2yln(3x2?y2)
(3)
?w?x?f1?f2?2xy?f3?y2z ?w?y?f2?x2?f3?2xyz
?w?z?f23?xy 3. 应用全微分形式的不变性，求函数z?arctanx?y1?xy的全微分. 解：令u?x?y,v?1?xy,则z?arctanuv dz?d(arctanuv)?11du?1u1?(uv)2v1?(u22dv v)v而du?dx?dy,dv??ydx?xdy
故dz?11(x?y21??1?xy[dx?dy?)(?ydx?xdy)1?] ?x?y?xy?1?xy?? ?dx1?x2?dy1?y2. 4. 已知sinxy－2z+ez=0,求?z?x和?z?y..
解：两同时对x求偏导，可得
ycosxy?2?z?z?x?ez?x?0.
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)ysin ycosxy故?z?. ?x2?ez两边同时对y求偏导，可得
?z?zxcosxy?2?ez?0.
?y?yxcosxy故?z?. ?y2?ez5. 若f的导数存在，验证下列各式：
(1) 设u=yf(x2－y2)，则y2?u?xy?u?xu；
?x?yy(2) 设z?xy?xf()，则x?z?y?z?z?xy.
x?x?y证：(1) ?u?yf'(x2?y2)?2x,?u?f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2).
?x?y所以y2?u?xy?u?y3f'(x2?y2)?2x?xy[f(x2?y2)?2y2f'(x2?y2)]?xu.
?x?yy1yy?z(2) ?z?y?f()?xf'()?(?1,?x?xf'(). )?xxxxxx2?yyyy所以x?z?y?z?x[y?f()?f'()?(?1)]?y[x?xf'()1]?z?xy.
?x?yxxxxx6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：
x?y(1) z?arctan；
1?xy(2) z=ylnx；
(3) z=f(xy,x2－y2). 解：(1)由第3题可知
dy?z1?z?,?. ?x1?x2?y1?y2?2y?2z?2x?2z?2z?2z,?,??0. 故2??x(1?x2)2?y2(1?y2)2?x?y?y?x(2) ?z?ylnxlny1,?z?lnxylnx?1. ?xx?y2?11故z?ylnxln2y2?ylnxlny2, 2?xxx?2z?lnx(lnx?1)ylnx?2, 2?y?2z?2z1lnx?111??y?lnx?ylnx?1lny??ylnx?1(1?lnxlny). ?x?y?y?xxxx?z(3) ?f1y?f22x,?z?f1x?f22y.
?x?y2?故z?y(f11y?f122x)?2f2?2x(f21y?f222x)?y2f11?4xyf12?4x2f22?2f2. 2?x?2z?x(f11x?f122y)?2f2?2y(f21x?f222y)?x2f11?4xyf12?4y2f22?2f2. 2?y?2z?2z??f1?y(f11x?2yf12)?2x(f21x?2yf22)?f1?xyf11?(2x2?2y2)f12?4xyf22. ?x?y?y?x7. 求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数?z,?z：
?x?y(1) x2+y2+z2－4z=0；
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(2) z3－3xyz=1.
解：(1)两边同时对x求偏导得2x?2z?z?4?z?0,故?z?2x.
?x?x?x4?2z2y两边同时对y求偏导得2y?2z?z?4?z?0,故?z?.
?y?y?y4?2z3yz?z. (2) 两边同时对x求偏导得3z2?z?3y(z??z)?0,故?2?x3z?3y?x?xxz两边同时对y求偏导得故?z?3.
?y3z2?3x
习题7-6
1. 求下列函数的极值：
(1) f(x,y)=x2+y3－6xy+18x－39y+16； (2) f(x,y)=3xy－x3－y3+1.
??fx(x,y)?2x?6y?18?0解：(1) 先解方程组? 2f(x,y)?3y?6x?39?0??y?
得驻点为(-6,1),(6,5).
fxx?2,fxy?x,y???6,fyy?x,y??6y,
在点(-6，1)处，Δ=AC-B2=2×6-36<0,所以f(-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC-B2=2×30-36>0，又A>0，所以函数在(6，5)处有极小值f(6，5)=-90.
2??fx(x,y)?3y?3x?0(2) 先解方程组? 2f(x,y)?3x?3y?0??y得驻点为(0,0),(1,1).
fxx??6x,fxy?x,y??3,fyy?x,y???6y,
在点(0，0)处，Δ=AC-B2=-9<0,所以f(0，0)不是极值；
在点(1，1)处，Δ=AC-B2=27>0,又A<0，所以函数在(1，1)处有极大值f(1，1)=2.
2. 求函数f(x,y)=x2－2xy+2y在矩形区域D={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}上的最大值和最小值.
解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组 ??fx(x,y)?2x?2y?0 ?f(x,y)??2x?2?0 ??y得唯一驻点(1,1),且f(1,1)=1.
(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x =0,0?y?2上, f(x,y)=2y，因此最大值为f(0,2)=4，最小值为f(0,0)=0； 在边界x =3,0?y?2上, f(x,y)= -4y+9，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(3,2)=1； 在边界y =0,0?x?3上, f(x,y)= x2，因此最大值为f(3,0)=9，最小值为f(0,0)=0；
在边界y =2,0?x?3上, f(x,y)= x2－4x+4，因此最大值为f(3,2)=1，最小值为f(2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(3,0)=9为最大值，f(0,0)=0为最小值. 3. 求函数f(x,y)=3x2+3y2－x3在区域D:x2+y2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D内的驻点，解方程组 ?fx(x,y)?6x?6y?3x2?0? ?f(x,y)?6y?0 ?y?得驻点(0,0), (2,0)，且f(0,0)=0， f(2,0)=4.
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