(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48－x3, 因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z=xy，x+y=1；
(2) u=x－2y+2z， x2+y2+z2=1.
解：(1) 作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y－1).写出方程组
?Lx?y???0??Ly?x???0 ?L?x?y?1?0??得到P(1,1),因此，z=xy在P(1,1)处取得最大值1.
22224(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)= x－2y+2z +λ(x2+y2+z2－1).写出方程组
Lx?1?2?x?0???Ly??2?2?y?0 ?L?2?2?z?0z??L?x2?y2?z2－1?0??122122得到P1(,?,),P1(-,,-). 333333122因此，u=x－2y+2z在P1(-,,-)处取得最小值-3. 3335. 要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件
xyz=8
下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值. 构成辅助函数
F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+λ(xyz－8)，
解方程组
?Fx(x,y,z)?2y?2z??yz?0,??Fy(x,y,z)?2x?2z??xz?0,??F(x,y,z)?2x?2y??xy?0,?z?xyz?8?得x?y?z?2?这是唯一可能的极值点.
因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积S?24.
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为
C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),
要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数
C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)
的条件极值问题.令
L(x,y,λ)?1000?8x2－xy?12y2??(x?y?42)
- 11 -
由Lx?16x?y???0,Ly??x?24y???0,x?y?42得x=25,y=17.
根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.
7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为
R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，
(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.
(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策
略.
解：(1)令Rx?14?8y?4x?0,Ry?32?8x?20y?0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数
R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2
的条件极值问题.令
L(x,y,λ)?15?14x?32y－8xy－2x2－10y2??(x?y?2) 由Lx?14?8y?4x???0,Ly??8x?32?20y???0,x?y?2
解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元
时，广告策略最佳。
由x+y=2，可得y =2-x,代入R得
R(x,y)=-4 x2+6x+39
令Rx?0,得x?0.75.因此y=1.25.
复习题7 （A）
1. 设z?y?f(3x?1)，且已知y=1时，z=x则f(x)?(x?1)3?1,z?y?x?1. 解：由y=1时，z=x，得f(3x?1)=x?1.
令3x?1=t.得x?(t?1)3,因此f(t)?(t?1)3?1.即f(x)?(x?1)3?1，z?y?x?1. ?x3,(x,y)?(0,0)?2. 设f(x,y)??x2?y2，则fx(0,0)? 1 , fy(0,0)? 0 . ?0,(x,y)?(0,0)?f(0??x,0)?f(0,0)?x?lim?1,
?x?0?x?0?x?xf(0,0??y)?f(0,0)0 fx(0,0)?lim?lim?0. ?x?0?x?0?y?y解：fx(0,0)?limx?y,,则dz? . x?yu解：令u?x?y,v?x?y,则z?arctan
vu111udz?d(arctan)?du?dv 2uv1?(u)2v2v1?()vv而du?dx?dy,dv?dx?dy
(x?y)(dx?dy)11故dz?[dx?dy?] 2x?yx?y?x?y?1????1?xy?3. 设z?arctan - 12 -
?xdy?ydx.
x2?y22y?2u? . 4. 设u?yf()?xg(x),其中f,g具有二阶连续偏导数,则x?u?yxy?x?y?x2y?y??uxx1?yf'()??2??g()?xg'(), 解：?xx?x?yyy2y?y2?y2y?ux1 2?yf''(?)4??yf'()3?gx'1(?)gx1'?()xg''(),x?x?xxyyyyyy2?x22y?y2?y2y?u 2??f''()?3??f'()2?g'(x)x2?g''(x)x3?g'(x)x2, x?x?xxyyyyyy?x22?u?所以x2?yu?0.
?x?y?x5. 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数z?f(x,y) ( D )
A 有极限 B连续
C 可微 D以上三项都不成立
解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 6. 偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件 D 即非充分也非必要条件 解：同5.
22
7. 设函数f(x,y)=1－x+y,则下列结论正确的是( D )
A 点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C 点(0,0)不是f(x,y)的驻点 D f(0,0)不是f(x,y)的极值 8. 求下列极限：
(1) ?lim(x2?y2)sin1； (2)
(x,y)?(0,0)xy解：(1) 因为 (2)
(x,y)?(0, 0)(x,y)?(0, 0)limxy?1?1.
x?y(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)?0，而sin11有界.所以lim(x2?y2)sin?0.
(x,y)?(0,0)xyxylimxy?1?1(xy?1?1)(xy?1?1)xy ?lim?lim(x,y)?(0, 0)(x,y)?(0, 0)x?y(x?y)(xy?1?1)(x?y)(xy?1?1) =0
9. 设u=e3xy，而x2+y=t2,x－y=t+2,求du.
dtt?0－
解：由x2+y=t2,x－y=t+2,可得 dxdydxdy2x??2t,??1,所以 dtdtdtdtdx2t?1dy2t?2x. ?,?dt2x?1dt2x?1dy2t?13x?y2t?2x. 因此，du?dudx?du?3e3x?y?edtdxdtdydt2x?12x?1令t?0,得x??2,y??4或x?1,y??1.
?2du5e4故?e或. dtt?03322?z?z?10. 设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求,2,z. ?x?x?x?y - 13 -
解：两边同时对x求偏导，得
y?z?z?z?z?zx?z.
y?y?z?x?0,因此??,由对称性可得???x?x?xx?y?yx?yy?z?z(x?y)?(y?z)?(x?y)?y?zx?y2y?2z?2z?x?????. 2222?x(x?y)(x?y)(x?y)(1??z)(x?y)?(y?z)(1?x?z)(x?y)?y?z2?yx?y?z2z?????. ?x?y(x?y)2(x?y)2(x?y)2?2f?2f11. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足2?2?1，又g(x,y)?f[xy,1(x2?y2)],
2?u?v试证
?2g?2g?2?x2?y2. 2?x?y证：设u?xy,v?1(x2?y2),则g(x,y)?f(u,v).则
2?g?f?u?f?v?f?f?g?f?u?f?v?f?f???y?x,???x?y, ?x?u?x?v?x?u?v?y?u?y?v?y?u?v?2g?2f?u?2f?y?2?x2?u2?x?v?2g?2f?u?2f?x?2?y2?u2?y?v?f?2f2?2f2?f?vx??y?2x?, ?x?v?u2?v?v?f?2f2?2f2?f?vy??x?2y?, ?y?v?u2?v?v?2g?2g所以2?2?x2?y2.
?x?y12. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.
2??fx(x,y)?2x(2?y)?0解：先解方程组? 2f(x,y)?2xy?lny?1?0??y?
得驻点为(0,1).
1fxx?2(2?y2),fxy?x,y??4xy,fyy?x,y??2x2?,
y在点(0，1)处,Δ=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.
（B）
－
1. 设z=ex+f(x－2y)，且已知y=0时，z=x2,则?z? .
?x解：令y?0得f(x)?x2?ex,因此，z?ex?(x?2y)2?ex?2y,
?z所以?ex?2(x?2y)?ex?2y.
?x2. 设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx(0,1,?1)? .
?z?z解：由x?y?z?xyz?0可得1??y(z?x)?0.
?x?x1?yz故?z??. ?x1?xy1?yz?zfx(x,y,z)?y(exz2?ex?2z)?y(exz2?2exz)
?x1?xy因此fx(0,1,?1)?1.
- 14 -
3. 设z?ln(x?y),则x?z?y?z? .
?x?y11112y2x?z?z,?解：?，
?xx?y?yx?y1(x?y)1所以x?z?y?z?2?.
?x?y2x?y24. 设z?1f(xy)?yg(x?y),,其中f,g具有二阶连续偏导数,则?z? .
x?x?yy解：?z??12f(xy)?f'(xy)?yg'(x?y),
?xxxy?2z11??f'(xy)?f'(xy)?f''(xy)x?g'(x?y)?yg''(x?y) ?x?yxxx?g'(?xy?)yg''?(x. y ?yf''(xy)5. 函数f(x,y)?eA
B C D
x2?y4在点(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).
fx(0,0)，fy(0,0)都存在 fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在
fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在 fx(0,0)，fy(0,0)都不存在
2f(0??x,0)?f(0,0)e?x?1?x2?lim=lim不存在, 解：fx(0,0)?lim?x?0?x?0?x?0?x?x?x?y4f(0,0??y)?f(0,0)e?y?1fy(0,0)?lim?lim=lim=0.
?x?0?x?0?x?0?y?y?y6. 设f(x,y),g(x,y)均为可微函数，且gy(x,y)≠0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D )
4A 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0 B 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)≠0 C 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)=0 D 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)≠0
解：作拉格朗日函数L(x,y,?)?f(x,y)??g(x,y)，则有 Lx(x,y,?)?fx(x0,y0)??gx(x0,y0)?0， Ly(x,y,?)?fy(x0,y0)??gy(x0,y0)?0.
由于gy(x,y)≠0，所以当fx(x0,y0)≠0，??0,因此?gy(x0,y0)?0，从而fy(x0,y0)≠0. 7. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)是由xex－yey=zez所确定的隐函数，求du.
yy?zz?zex?xex?z?e?yexyzxxz?z.故?z,同理?z解：由xe－ye=ze可得e?xe?e?ze. ?x?x?xe?zez?ye?zez因此du?fxdx?fydy?fzdz
xxey?yeye?xe ?fxdx?fydy?fz(zdx?zdy)
e?zeze?zezey?yeyex?xex
?(fx?fzz)dx?(fy?fzz)dy.
e?zeze?zez8. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定：
x?zexy?xy?2,ex??sintdt，
0t - 15 -
求du. dxdydydyexyy?yy解：由e?xy?2,可得e(y?x)?(y?x)?0,因此，???. xydxdxdxx?exxx?zsintsin(x?z)ex(x?z)dzdzxxdt,可得e?(1?)，因此?1?由e??. 0tx?zdxdxsin(x?z)xyxydyyex(x?z)dudz?fx?fy?fz?fx?fy?fz[1?]. 故dxdxdxxsin(x?z)9. 设z=z(x,y)由方程x2+y2－z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g′≠－1. (1) 求dz;
(2) u(x,y)?1(?z??zx?y?x?y),求?u?x.
解：(1)由x2?y2－z?g?x?y?z?,两边分别同时对x、y求偏导得
2x??z?x?g'?x?y?z?(1??z?z?z?x),2y??y?g'?x?y?z?(1??y). 因此?z2x?g'?x?y?z??z2y?g'?x?y?x?g'?x?y?z??1,?y??z?g'?x?y?z??1. dz?2x?g'?x?y?z?2y?g'?xg'?x?y?z??1dx??y?z?g'?x?y?z??1dy.
(2) u(x,y)?12x?2yx?y(?z?x??z?y)?1x?yg'?x?y?z??1?2g'?x?y?z??1, ?z?u?2g''(x?y?z)(1??2g''(x?y?z)[12x?g'?x?y?z??)?g'?x?y?z??1]?x?x[g'(x?y?z)?1]2?[g'(x?y?z)?1]2. 10. 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.?
解：由z=x2?y2,x?y?z?4可得x2?y2?4?x?y.因此，问题转化为求 u?4?x?y?(4?x?2y)在约束条件2x?2y?4?x下的极值问题?y. 令L(x,y,?)?4?x?y?(4?x?y)2??(x2?y2?4?x?y), Lx(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?x???0，
Ly(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?y???0. x2?y2?4?x?y?0,
解得: x??2,y??2或x?1,y?1.因此, z=8或z=2.
又f(?2,?2,8)?72,f(1,1,2)?6. 所以最大值为72，最小值为6.
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