这样，欧式看跌期权价格为，
p?50N(?0.0917)e?0.1?0.25?50N(?0.2417)?50?0.4634e?0.1?0.25
?50?0.4045?2.374、根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有：
p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(?d1)?S
由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为：
p?S?Xe?rTN(?d2)?SN(d1)
同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有：
c?Xec?Xe?rT?SN(d1)?Xe?rTN(d2)?Xe?rT由于N（d2)?1?N(?d2),上式变为：?rT
?Xe?rTN(?d2)?SN(d1) 可见，p?S?c?Xe?rT，看涨期权和看跌期权平价公式成立。 5、D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65
X[1?e?r(T?t2)]?65(1?e?0.1?0.1667)?1.07X[1?e 可见，
?r(t2?t1)]?65(1?e?0.1?0.25)?1.60
D2?X[1?e?r(T?t2)]D1?X[1?e?r(t2?t1)]
显然，该美式期权是不应提早执行的。 红利的现值为：
e?0.25?0.1?e?0.50?0.1?1.9265
该期权可以用欧式期权定价公式定价：
S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32
ln(68.0735/65)?(0.1?0.322/2)?0.6667d1?0.32?0.6667 d2?d1?0.32?0.6667?0.3013 N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184
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因此，看涨期权价格为：
68.0735?0.7131?65?e?0.1?0.6667?0.6184?10.94
6、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：
28.5e-0.08×0.08333=28.31元。
这意味着：
-c+40Δ=28.31
c=40×0.75-28.31=1.69元。
7. 证明：（1）
?c?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)??N?d1??d1?N?d2??d2?c?N?d1??S?Xe?r(T?t)?S?d1?S?d2?S2d?N?di??d1?d211-2i其中，＝＝，且＝e,因此?S?SS?T?t?di2???N?d1??c1?r(T?t)?N?d2???N?d1??S－Xe???S?d1?d2?S?T?t?dd?1-211-22??r(T?t)?N?d1??e－Xee??SS?T?t?2?2????2d1??T?t???-d12?-11??2?N?d1??Se2－Xe?r(T?t)e??S?T?t2?????122?d??2d1?T?t??2?T?t??d2-11?-212?Se－Xe?r(T?t)e??N?d1??S?T?t2??????2?T?t??d2d2-1d1?T?t-11?-212?N?d1???Se－Xe?r(T?t)e2e?S?T?t2?????将d1代入最后一项，可得12＝N?d1??1S?T?tdd-1S?1?-21?Se－Xe2?＝N?d1?X?2????22
(2)在风险中性世界中，股票价格服从lnST~?[lnSt?(r?12
?22这样ST大于X)?T?t?,?T?t]，
的概率就是lnST?lnX的概率：
???St??2?2lnX?(lnS?(r?)T?t)ln?(r?)T?t????????tX221?N???N???N?d2?
?T?t?T?t????????????
第12章
1. 二叉树图模型的基本原理是：在风险中性世界中，假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯定价偏微分方程。 2.
u d p △t 0.0833 1.0905 0.9170 0.5266 下图为时间间隔为一个月的二叉树树图 1-p 0.4734 ? 看跌期权fA2.71
?为2.62美元，由布莱克－舒尔斯公式运用二叉树方法得到欧式看跌期权fE??f?f??2.47计算可得fE?2.38，因此美式看跌期权的更优估计值为fA?fAEE美元。
3. 蒙特卡罗方法是通过多次随机抽取标的资产价格的路径，并据此计算每条路径下的期权回报，然后把期权平均回报贴现得到期权价格。蒙特卡罗模拟的主要优点包括：易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是：不能为美式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。
????2??t????t4. 使用的公式为S?t??t??S?t?exp??r?q??，注意从Excel?2????13
软件中有抽取0到1之间的均匀分布随机数的程序。?可以通过下式获得：
???Ri?6
i?112其中Ri?1?i?12?是相互独立的0到1均匀分布的随机数。
5. 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。 6.根据题意
r?0.10，?t?0.0833，?S?4,??0.30,S?20,X?21,T?t?0.3333，运用显性
有限差分法为该期权定价的结果如下表所示。
股票价格 到期时间 4 3 2 1 0 （美元）
40 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 36 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 32 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 28 0.07 0.04 0.02 0.00 0.00 24 0.38 0.30 0.21 0.11 0.00 20 1.56 1.44 1.31 1.17 1.00 16 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 12 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 8 13.00 13.00 13.00 13.00 13.00 4 17.00 17.00 17.00 17.00 17.00 0 21.00 21.00 21.00 21.00 21.00
第13章
1. 一份看涨期权多头和一份执行价格和到期期限都相同的看跌期权空头组合的收益等于一份标的资产的多头。用期权组合盈亏图的算法也可以得出，看涨期权多头（0，+1）加上看跌期权空头（+1，0）等于（+1，+1）即标的资产多头。
2. 看涨期权的反向差期组合
一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。
看跌期权的反向差期组合
一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。
3. 牛市差价组合可以由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成，也可以由一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组成。由于协议价格越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越
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高，因此用看涨期权构造的牛市差价组合期初现金流为正，而用看跌期权构造的牛市差价组合期初现金流为负。
设执行价格为X1和X2，X2?X1。则两者的最终收益差距如下表：
ST的范围 ST?X2 看涨期权牛市价差组合 X2?X1?c2?c1 看跌期权牛市价差组合 p2?p1 收益差异 X2?X1?c2?c1?p2?p1?X2?X1??c2?p2???c1?p1??X2?X1??S0?X2e?rt???S0?X1e?rt???X2?X1??1?e?rt??0 X1?ST?X2 ST?X1 ST?X1?c2?c1 c2?c1 ST?X2?p2?p1 X1?X2?p2?p1 同上 同上 可见，前者的最终收益大于后者。 4. 由看涨期权构造的蝶式差价组合初始投资为2c2?c1?c3，由看跌期权构造的蝶式差价组合的初始投资为2p2?p1?p3。两者初始投资之差等于2(c2?p2)?(c1?p1)?(c3?p3)由看跌看涨期权平价公式可知，ci?pi?S?Xier(T?t),i?1,2,3，而2X2?X1?X3,因此两者初始投资是相等的。两者的最终收益差距如下表： ST的范围 ST?X1 看涨期权构造的蝶式差价组合 2c2?c1?c3 看跌期权构造的蝶式差价组合 2p2?p1?p3 收益差异 2c2?c1?c3?(2p2?p1?p3)?2(c2?p2)?(c1?p1?c3?p3)?2(X2e?rt?S)?(X1e?rt?S?X3e?rt?S) ?e?rt(2X2?X1?X3)?0X1?ST?X2 X2?ST?X3 ST?X1+2c2?c1?c3 X3?ST+2c2?c1?c3 2c2?c1?c3 ST?X1+2p2?p1?p3 同上 同上 同上 X3?ST+2c2?c1?c3 2p2?p1?p3 ST?X33 可见，两者最终收益都相同。 5. 在预期股票价格下跌时，投资者为了获利可以投资看跌期权、看涨期权空头、熊市差价组合、看涨期权的熊市反向对角组合、看涨期权的熊市正向对角组合、看跌期权的熊市反向对角组合、看跌期权的熊市正向对角组合等。
第14章
1. Delta值为0.7意味着此时该看涨期权的标的股票每上涨1元钱，该看涨期权的价格就应该上涨0.7元钱。若每个期权的Delta值均为0.7，要使一个1000个看涨期权的空头变成Delta中性，则必须买入700份股票，或者进入标的为700份该股票的远期的多头。
0.252(r?)(T?t)(0.1?)*0.5222. Delta=N(d1)，d1?==0.4596，则?T?t0.25*0.5?2Delta=N(d1)=0.6771。
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