第一章 集合 （总授课时数 8学时）
由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识．
§1、集合及其运算
教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.
本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论
证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.
本节难点 对集列极限的理解. 授课时数 2学时
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一、集合的概念及其表示
集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几 何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握 以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合 作为元素的集合，也常称为集族或集类． 以后常用大写字母A,B,C,D,X,Y,Z表示集合，用小写字母a,b,c,x,y表示集合中的
元素．
如果a是集合A的元素，则说a属于A，记作a?A，或说A含有a．
如果a不是集A的元素，则说a不属于A，记作a?A，或说A不含有a． 有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：
只含有一个元素a的集合称为单元素集或独点集，可表示为{a}． 由n个元素a1,a2an所组成的集合，可表示为{a1,a2an}
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,,n,}．
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当集A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：
A?{x|x具有性质p}
2例如，方程x?1?0 的解x的全体组成的数集是{x|x?1?0}，
2实际上就是{1,?1}.
有时我们也把集{x|x?E,x具有性质p}改写成E[x具有性质p]．例如，设f(x) 是定义在集合E上的一实函数，a是一个实数，我们把集{x|x?E,f(x)?a}写成
E[f(x)?a]或E[f?a]．
不含任何元素的集合称为空集，记作?．
设A，B是两个集，若A 和B的元素完全相同，就称A和B相等，记作A=B (或 B=A).
若集合A的元素都是集合B的元素，就称为A是B的子集，记作A?B (或B?A)， 读作A 包含于B (或B 包含A)．
若A?B且A?B,就称A是B的真子集，规定空集是任何集的子集． 由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理： 定理1 对任何集合A，B，C，均有 （1）A?A；
（2）若A?B,B?C，则A?C； （3）A?B?A?B且B?A．
二 集合的运算
设A，B是两个集合，集合A与B的并集或并AB?{x:x?A或x?B}
集合A与B的交集或交AB?{x:x?A且x?B}
特别地，若A?B??，称A与B不相交；反之，则称A与B相交．
集合A减B的差集或差:A?B或A\\B?{x:x?A但x?B} 当B?A时，称差集A?B为B关于A的余集记作(CAB)．
当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A的子集时，就称A 为基本集或全集，并把A的子集B关于A的余集CAB 简称为B 的余集，记为B或CB.
并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设?为一非空集合，并且对每一个
C???，指定了一个集合A?,此时我们称{A?|???}是以?为指标集的集族，集族
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{A?|???}的并与交分别定义为:
???A??{x:????,使x?A?} A??{x:????,有x?A?}
???例 设An?{x:?1?11?x?1?},n?N,则 nnn?1?An?[?1,0]?,?An?(?2,1)
n?1?关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)
更一般地有:De Morgan公式
(???A?)c????cA?,(A?)c????cA?
???证明（略）
注：通过取余集，使A与A，?与?互相转换.
C三、集列极限
设A1,A2,上极限集：
,An,是一个集合序列，，其上限集和下限集分别定义为
limAn(或limsupAn)?{x:x属于无限多个集合An}?{x:存在无限多个An，使x?An}n??n?? ?{x:?N,?n?N,使x?An} ?N?1n?NAn
下极限集：
limAn(或liminfAn)?{x:除去有限个集外，有x?An}?{x:当n充分大时，有x?An}
n??n?? ?{x:?N,?n?N,有x?An} ?N?1n?NAn
注：
??An?limAn?limAn?n?1n??n??n?1An
例：设A2n?[0,1],A2n?1?[1,2]，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}. 极限集
如果集列{An}的上极限集与下极限集相等，即limAn?limAn?A
n??n??则称集列{An}收敛，称其共同的极限为集列{An}的极限集，记为：limAn?A
n??单调增集列极限
若集列{An}满足An?An?1(?n?N),则称{An}为单调增加;
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若集列{An}满足An?An?1(?n?N),则称{An}为单调减少;
定理2 ：单调集列是收敛的
1) 如果集列{An}单调增加，则limAn?n???n?1?n?1An An
2) 如果集列{An}单调减少，则limAn?n??例1：设A2n?1?(?1?11,1?),A2n?(?n,?n),n?N,则 nnlimAn?(??,??)，limAn?(?1,1]
n??n??例2：设A2n?1?[,4?],A2n?[?n??1n1n11,1?],n?N,则 nnn??limAn?[0,4)，limAn?(0,1]
小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.
证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后
会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念.
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作业：P30 5, 7, 8
练习题
1. 设{An}为一集列： （1）作B1?A1,Bn?An?n?1k?1Ak(n?1)，证明{Bn}为一列互不相交的集列，且
nk?1Ak?nk?1Bk(n?1,2,)
（2）若{An}是单调减少的集列，证明
A1?(A1?A2)?(A2?A3)?并且其中各项互不相交. 2. 证明:
???(An?An?1)??(?k?1Ak),
??(1) limAn?n??N?1n?NAn,limAn?n??N?1n?NAn
(2) limAn?limAn
n??n??(3) {An}单调递增时，有limAn?limAn?limAn?n??n???n?1?n?1n??An An
(4) {An}单调递减时，有limAn?limAn?limAn?n??n??n??第4页（共14页）
3. 已知A2n?E,A2n?1?F,(n?1,2,)，求limAn和limAn，并问limAn是否存在？
n??n??n??
§2 对等与基数
教学目的 介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.
本节要点 一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对
应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.
本节难点证明两个集对等或具有相同的基数. 授课时数 2学时
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1 映射的定义
在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是Rn的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X?Y
或：设X,Y是两个非空集合，f是X?Y的子集，且对任意x?X，存在唯一的y?Y使(x,y)?f，则f是从X 到Y的一个映射.
注：集合，元素，映射是一相对概念.
略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）
在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.
2 集合运算关于映射的性质（像集）
定理1 ：设f:X?Y,A,B,A?(???)是X的子集，称{f(x):x?A}为A的像集，记作f(A)，则有：
1)A?B?f(A)?f(B); 2)f(AB)?f(A)f(B),一般地有f(???A?)????f(A?);
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