2008－2009 学年 第一学期期末
考试统一用答题册
一、单项选择题（每小题3分，满分18分）
141、设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,?)的样本，设X??Xi，
4i?12当?? ( )时， 概率P{1?X?2}最大。
2（A）6336 ， （B） ， （C） ， （D） 。
ln22ln22ln2ln2??(??1)x??1(1-x)，0?x?12、 设总体X的密度函数为f(x;，其中??0，?)??0，其它?。 X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则参数?的矩估计量为（ ）（A）
X2XX2X ， （ B） ， （C） ， （ D） 。 1?X1?X2?X2?X2222??X?c??是 3、设X1,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的样本，当c?（ ）时，?1n1n2???(Xi?X)，X??Xi 。 ?的无偏估计，其中?ni?1ni?122（A）?1111 ， （B） ， （ C） ? ， （ D ） 。 n?1n?1nn24、设随机变量X~N(?,?),则E|X??|?[ ].
(A) 0, (B) ?, (C)
22??, (D) ?.
5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时
到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ].
25254711(A) , (B) , (C), (D).
367252366、设X1,X2,???,Xn是总体N(?,?)的样本,?已知,下列几个作为?的估计量中,
较优的是[ ].
221n1n22???(Xi?X), (B) ??2?(A) ?(Xi?X)2, ?ni?1n?1i?1211n1n?122?4????(Xi??), (D) ?(C) ?(Xi??)2. ?ni?1n?1i?123二、填空题（每小题3分，满分18分）
1、有n个白球与n个黑球任意地放入两个袋中,每袋装n个球.现从两袋中各取一 球,则所取两球颜色相同的概率为 。
2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清 和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0 的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和 0.6。当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为 。
3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、 0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为 。
4、 设随机变量X的分布函数为F(x)，随机变量Y服从两点分布：
P{Y?a}?p,P{Y?b}?1?p,(0?p?1)，并且X与Y相互独立，
则随机变量Z?X?Y的分布函数FZ(z)? 。
225、设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?0已知。对给定置)的样本，?未知，?0信水平1??（0???1），满足 P{a?X???/n20， 即满足?}b?1??P{X??0nb???X??0na}?1??的实数a,b(a?b)有无穷多组，当a? ，
????b? 时，就可使得?的置信水平为1??的置信区间?X?0b,X?0a?
nn??的长度最短。（用标准正态分布的分位点表示出所求的a,b即可。）
6、设总体X~N??,??,
2x1,x2,?,x1n1n为X的样本. 记 x??xi ，这里规定
ni?1?x)21ns??(xi?x)2ni?12,?n2s?2?2?(xi?1i.在未知方差?2， 检验假设H0:???0时，
选取检验用的统计量是 。
三、（满分12分）
对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7,试求:
(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率; (2)至少有一次击中目标的概率.
A6-1
?2x?2,0?x??X四、（满分12分） 已知随机变量的概率密度为f(x)??? ,
?0,其它?试求Y?sinX的分布函数FY(y)和概率密度fY(y).
五、（满分8分）设随机变量X的二阶矩存在，
证明:当k?EX时,E(X?k)2的值最小,最小值为DX.
六、（满分12分）设总体X~N(0,32),从此总体中取一容量为4的样本X1,X2,X3,X4,设
Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2,
（1）求X1?2X2服从的分布；（2）求3X3?4X4服从的分布； （3）试决定常数a,b,使随机变量Y服从?2分布.
七、（满分8分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）
设 Z(t)?Xsin?t?Ycos?t ,其中?是常数, X与Y是相互独立的随机变量,
且X~N(0,1),Y~U[?3,3] , 试求:
（1）EX，EY； （2）E[Z(t)]，E[Z(t)Z(t??)]，E[Z2(t)]； （3）问Z(t)是否为广义平稳过程？
22[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）
有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以X和Y分别表示甲、乙两炮所用炮弹数. （1）试写出X的分布律，求Y的分布律； （2）求EX,EY。
八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）
四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概率
21逆时针游动到相邻位置; 以概率顺时针游动到相邻位置;以X(n)?j表示时33刻n粒子处在位置j(j?1,2,3,4),
A6-2
试作:(1)写出齐次马尔可夫链{X(n),n?1,2,?}的状态空间； (2)求齐次马尔可夫链{X(n),n?1,2,?}的一步转移概率矩阵; （3） 求两步转移概率矩阵P(2)； (4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布.
[八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）
设X1,X2,???,Xn,???是相互独立的随机变量序列,且其分布律为
P{Xn??n}?13,P{Xn?n}?n?113,P{Xn?0}?1?n?123n?1,(n?1,2,???)；
1n2记Yn??Xi,(n?1,2,???)。 (1)求EXn，EXn，DXn； (2)求EYn，DYn ;
ni?1（3）证明: 对任给??0，成立limP{|Yn|??}?1。
n??A卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）
1、B；2、D；3、A； 4、C；5、A；6、C 。
二、填空题（每小题3分，满分18分）
12C2Cnn?1n?131、P(A)?, 或P(A)? . 2、??0.42857 ；3、0.7522n?172n?1C2n；
4、 FZ(z)?P{X?Y?z}?pF(z?a)?(1?p)F(z?b) ； 5、a???(1??1?2)??z1??2??z?，b???1(1?)?z?；
1?222n?1~t?n?1? 。
6、T?
x??0x??0?ssn?1三、（满分12分）
解 设Ai?第i次射击时击中目标,i?1,2,3,A1,A2,A3相互独立,
P(A1)?0.4,P(A2)?0.5,P(A3)?0.7;
（1） 设B1?恰好有一次击中目标,则B1?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3,
于是P(B1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36;??????.6分
A6-3
（2） 设A?至少有一次击中目标,则A?A1?A2?A3, 故P(A)?P(A1?A2?A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
?1?0.6?0.5?0.3?0.91.????????????????????..6分
四、（满分12分）
解 FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y},
(1)当y?1时, FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?P{S}?1; (2) 当y??1时, FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y} ?P(?)?0; (3) 当?1?y?0时, FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y}?(4)当 0?y?1时, FY(y)?P{Y?y}?P{sinX?y} ??sin?yf(x)dx?0 ;
?sinx?yf(x)dx??arcsiny2x0?2dx???2x??arcsiny?dx?22?arcsiny,
0,??2FY(y)??arcsiny,??1,?y?00?y?1；?????????????????????8分 y?11?2,0?y?1??2(2)所以 fY(y)?? . ??????????????????4分 1?y??0,其它
五、（满分8分）
证明 由E(X?k)2?E[(X?EX)?(EX?k)]2
?E[(X?EX)2?2(X?EX)(EX?k)?(EX?k)2]
?E(X?EX)2?(EX?k)2,
?E(X?EX)2?DX,??????????????????6分
2知当k?EX时,E(X?k)的值最小,最小值为DX.??????????????2分
222222(用f(k)?E(X?k)?EX?2EX?k?k?EX?(EX)?(k?EX),
或利用导数求极值也可.)
六、（满分12分）
A6-4