一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 设线性方程组Ax = 0，A是4×5阶矩阵，如果R(A) = 3，则其解空间的维数为(2 ).
?200???2. 设三阶方阵A??0xy?可逆，则x,y应满足条件(
?023???).
3. 向量组(A): α1,α2,?,αr与向量组(B): β1,β2,?,βs等价，且向量组(A)线性无关，则r与s的大小关系是(
).
4. 设A为3阶方阵, 且|A|??2,A*是A的伴随矩阵, 则
4A?1?A*?( -4 ).
?x1?2x2?3x3??1?2x2?x3?2无解5. 若线性方程组?，则? = ( 0 ). ．．
??x3???2?二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 在下列矩阵中，可逆的是( D ).
(A)
(B)
(C)
(D)
.
2、已知 、 是非齐次线性方程组Ax = b的两个不同的解， 、
是其导出组Ax
= 0的一个基础解系，k1、k2为任意常数，则方程组Ax = b的通解可表成( D ).
(A) k1α1?k2(β1?β2)?β1?β2β?β2 (B) k1α1?k2(β1?β2)?1 22(C) k1α1?k2α2?β1?β2β?β2 (D) k1α1?k2α2?1 223. 设A是
矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是( C ).
(A) A的行向量组线性无关 (C) A的列向量组线性无关
(B) A的行向量组线性相关 (D) A的列向量组线性无关
4. 设A, B为同阶可逆矩阵，??0为数，则下列命题中不正确的是( B ). (A) (A?1)?1?A (B) (?A)?1??A?1 (C) (AB)?1?B?1A?1 (D) (AT)?1?A?1??
T2225. 二次型f?x1?100x2?x3?2x1x2?x1x3?x2x3是( A ).
(A) 正定的 (B) 负定的 (C) 半正定的 (D) 不定的
三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)
1. 方阵A3?2B2?3一定不可逆. ( × ) 2. 若Ax = 0只有零解，则Ax = b (b ≠ 0)有唯一解. ( √ ) 3. 转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( √ ) 4. 设 A、B为n阶方阵，且AB = 0，但 |A| ? 0，则B = 0. ( √ )
5. 设n阶实矩阵A?(aij)n?n,?1,?2??n是它的n个实特征值，则有
?1?2??n?|A|. ( × )
?11?1???四、(10分) 设三阶方阵A??011?，且A2?AB?E，求矩阵B.
?001???解：Solution 显然|A| = 1 1 0，于是A可逆，因为
两边左乘
，得
. 由于
，所以，
所以
，进而.
五、(10分) 若?是A的特征值（??0,A可逆）证明?2?1?是A?A的特征值.
2?1解：Proof 若
，则，
所以
是的特征值.
六、(10分) 向量组?1?(1,3,2,0)T,?2?(7,0,14,3)T,?3?(2,?1,0,1)T,?4?(5,1,6,2)T,
?5?(2,?1,4,1)T，(1) 计算该向量组的秩，(2) 写出一个极大无关组，并将其余向量用该极
大无关组线性表示.
解：Solution
，为一个极大无关组，
，
.
??110???430七、(10分) 计算矩阵???的特征值与特征向量.
?102???解：Solution 由于
，
于是A的所有特征值为1, 2.
当时，解线性方程组，得基础解系为, 对应的所有特征向量
为，其中为任意常数.
当时，解线性方程组，得基础解系为, 对应的所有特征向量
为，其中为任意常数.
?x1?x2?2x3??k?八、(15分) k满足什么条件时，方程组?x1?2x2?kx3?k2有唯一解，无解，有无穷多
?2x?x?k2x?023?1解?
解：Solution 由于
(1) 当
且
时，线性方程组有惟一解.
(2) 当时，有原线性方程组无解.
(3) 当时, 有原线性方程组有解.当时,
, 这时线性方程组只有零解. 当时，
, 这时方程组有无穷多解.