第2章 力系的等效与简化
2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。已知F、d1和d2。试求产生最大弯曲变形的角度?。
解：本题实际是求使A处产生最大约束力偶，由力矩特性：F?AC（图a）时力臂最大。
d 此时：??tan?12
d1 ? F C d2d? 1A BMA
FRA
(a) 习题2－1图
2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。试求此力系对刀架固定端点O的力矩。 解：图（a）：
rA?(0.2, 0, 0.25)m FA?(0, 6003, ?600)N M?(0, 1203, ?120)N·m M0??M0(F)?M0(FA)?M
ijk ?0.200.25?(0, 1203, ?120)
06003?600 ?(?260, 328, 87.8)N·m
y
O
z rA A 30? M
FA
－ 习题 2 2 图 (a)
2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。 解：MA(F)?rAB?F
xijkrABdd ?-d43FF0551 =Fd(?3,4,?7)
5 习题2－3图
— 11 —
(a)
2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。 解：M??M(F)
??150?0.25?2i?150?0.15j ?(?75,22.5,0)N?m
习题2－5图 习题2－4图
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A轴水平，B和C轴位于yz铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。
解：MA =（1, 0, 0）MA =3.6（1, 0, 0）kN·m
MB =（0, sin40°,cos40°）MB =6（0, sin40°,cos40°）kN·m MC =（0, sin40°,-cos40°）MC =6（0, sin40°,-cos40°）kN·m ∴ M = ΣMi = MA+ MB + MC =（3.6, 12sin40°, 0）kN·m
2－6 槽钢受力如图所示。试求此力向截面形心C平移的结果。 解：r =（-0.0203, 0, 0.102）m F =（0, 20, 0）kN F向C平移，得
FR =（0, 20, 0）kN
ijk MC?-0.020300.102
0200 =（-2.04, 0, -0.406）kN·m
习题2－6图 习题2－7图
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。试求此力向截面形心C平移的结果。 解：r =（-50, 125, 0）mm F =（0, 0, -100）kN F向C平移，得
FR =（0, 0, -100）kN
ijk MC?MC(F)?r?F?-0.050.1250
00?100A习题2－8图
=（-12.5, -5, 0）kN·m
2－8 平行力（F,2F）间距为d，试求其合力。
解：(1)图(a)
FAF'dBF??FR2FFRdBF x
（a）
?MC(F)?0
?F(d?x)?2F?x?0
CC
（b）
— 12 —
?x?d
?FR?2F?F?F
方向如图
2－9 已知图示一平面力系对A（3,0），B（0,4）和C（–4.5,2）三点的主矩分别为：MA = 20kN·m，MB = 0，MC =–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。 解：由已知MB = 0知合力FR过B点；
由MA = 20kN·m，MC = -10kN·m知FR位于A、C间，且 AG?2CD（图（a）） 在图（a）中： 设 OF = d，则 d?4cot?
(d?3sin?)?AG?2CD （1）
d CD?CEsin??(4.5?)sin? （2）
2d??2(4.5?)sin? 即 (d?3)sin2 d?3?9?d d?3
∴ F点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a），作用线如图过B、F点；
4 tan??
34 AG?6sin??6??4.8
5 MA?FR?AG?FR?4.8
习题2－9图
yCDGE42??d32025?kN FR??4.5AOxF4.86510 即 FR?(,)kN FR 234(a) 作用线方程：y?x?4 3 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。
2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。试求此力系向点O简化的
z结果。
F2
10N r2r3F 3O yr1 M4NF1
x
习题2－10图
(a)
解：M =（0, 0, -24）N·m F1 =（0, 4, 0）N F2 =（6, -8, 0）N F3 =（-6, 0, -8）N
∴ FR = ΣFi =（0, -4, -8）N MO?M??MO(F)
?M?r1?F1?r2?F2?r3?F3 =（0, 0, -24）+（0, 0, 12）
ijkijk ?046?84?344 0?60?8— 13 —
=（0, 24, -12）N·m
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。试求此力系向点A简化的结果。 zz
F1
75 Ay75 r75 25 200x M
F2
(a) 习题2－11图
解：由已知F1 =160N，F2 =120N，F3 =25N·m F1 =（0, 0, -160）N F2 =（-120, 0, 0）N M =（25, 0, 0）N·m r =（0.075, 0.2, 0.025）m 向A点简化，得
FR = F1 + F2 =（-120, 0, -160）N MA?M?r?F1?r?F2 =M?r?(F1?F2)
ijk =（25, 0, 0）?0.0750.20.025
?1200?160 =（-7, 9, 24）N·m
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。 解：图（a）由已知 F1 =（0, 0, -30）N F2 =（0, 0, 50）N F3 =（0, 0, -40）N r 1 =（2, 1, 0）m r 2 =（0, 2, 0）m r 3 =（1, 3, 0）m 向O点简化，得
???Fi=（0, 0, -20）N 主矢：FR 主矩：MO??MO(F)
?r1?F1?r2?F2?r3?F3
习题2－12图
ijkijkijk ?210?020?130
00?30005000?40 =（-50, 100, 0）N·m
将主矢，主矩进一步化简，其合力作用线平行z轴， 过Oxy平面上点A（x, y）。
ijk 则 MO?rA?FR?xzr2F2F1Or1yr3F3
x(a)
0y00?20=（-20y, 20x, 0）=（-50, 100, 0）
∴ x = 5，y = 2.5
∴ 合力FR =（0, 0, -20）N，且FR过点A（5, 2.5, 0）。
2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F（是否平衡。假定各力F（kk = 1,2,…,6）ii = 1,2,…,6）的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。各曲颈中点之间的轴向距离均为d，其布置如图所示。
— 14 —
习题2－13图
解：由已知，F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = F，所以显然有 ΣFx = 0，ΣFy = 0，ΣFz = 0，即主矢FR = 0。 由图可知：
F1 = F（0, 0, 1），r 1 =（0, 0, 0）d F2 = F（? F3 = F（
13, 0, ?），r 2 =（0, 1, 0）d
2213,0 , ?），r 3 =（0, 2, 0）d
22 F4 = F（0, 0, -1），r 4 =（0, 3, 0）d
F5 = F（? F6 = F（
613, 0, ），r 5 =（0, 4, 0）d
2213, 0, ），r 6 =（0, 5, 0）d
22O(Fi) 主矩MO??Mi?1??r?Fii?16i??3Fdk
习题2－14图
∴ 原力系不平衡
2－14 图示三个大小均为FO的力分别与三轴平行，且在三个坐标平面内。试问l1、l2、l3需满足何种关系，此力系才可简化为一合力。 解：先向O点简化，得
主矢FR =（F2, F3, F1）= FO（1, 1, 1） 主矩MO = -FO（l3, l1, l2）
为使力系能进一步简化为一合力，需 FR·MO = 0
2 即 FR·MO =?FO（l3 + l1 + l2）= 0
∴ l1 + l2 + l3 = 0
2－15 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。
习题2－15图 FB FBBDDBF B?FB45B M FDFDFBDMMM AAA FA AFA FA FA (a)
(b) (c) (d)
— 15 —