H=（14.58-0）/[50×（1.3333-0.75）]=0.5
借款数额=价格下行时股票收入的现值=（0.5×37.50）÷1.02≈18.38（元）
期权价值=投资组合成本=购买股票支出－借款=H×S0-借款=0.5×50－18.38=6.62（元） 验证：
该投资组合为：购买0.5股的股票，同时以2%的利息借入18.38元。这个组合的收入同样也依赖于年末股票的价格，如表7-7所示。
表7-7 投资组合的收入 单位：元 66.66 37.50 66.66×0.5=33.33 18.38×1.02=18.75 14.58 37.5×0.5=18.75 18.75 0 股票到期日价格 组合中股票到期日收入 组合中借款本利和偿还 到期日收入合计
（2）计算公式
【例题9·计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40% ，或者降低30%。无风险利率为每年4%。拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。
要求：
（1）计算利用复制原理所建组合中股票的数量为多少？ （2）计算利用复制原理所建组合中借款的数额为多少？ （3）期权的价值为多少？
（4）若期权价格为4元，建立一个套利组合。
（5）若期权价格为3元，建立一个套利组合。 【答案】
（1）上行股价=20×（1+40%）=28（元） 下行股价=20×（1-30%）=14（元） 股价上行时期权到期价值=28-21=7（元） 股价下行时期权到期价值=0
组合中股票的数量（套期保值率）=期权价值变化/股价变化=（7-0）/（28-14）=0.5（股） （2）借款数额=（到期日下行股价×套期保值比率）÷（1+持有期无风险利率）=（14×0.5）/（1+4%）=6.73（元）
（3）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5×20－6.73=3.27（元）
（4）由于目前看涨期权价格为4元高于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售一份看涨期权，借入6.73元，买入0.5股股票，可套利0.73元。
（5）由于目前看涨期权售价为3元低于3.27元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5股股票，买入无风险债券6.73元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.27元。
2.风险中性原理
（1）基本思想
假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。 到期日价值的期望值=上行概率×Cu+下行概率×Cd 期权价值=到期日价值的期望值÷（1+持有期无风险利率）
（2）计算思路
（3）上行概率的计算
期望报酬率（无风险利率）=上行概率×上行时收益率+下行概率×下行时收益率 假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
期望报酬率（无风险利率）=上行概率×股价上升百分比+下行概率×股价下降百分比
（4）计算公式
【续例7-10】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。 【解析】
期望回报率=2%=上行概率×33.33%+下行概率×（－25%） 2%=上行概率×33.33%+（1－上行概率）×（－25%） 上行概率=0.4629
下行概率=1－0.4629=0.5371
期权6个月后的期望价值=0.4629×14.58+0.5371×0≈6.75（元） 期权的现值=6.75÷1.02≈6.62（元）。
【例题10?计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。
要求：利用风险中性原理确定期权的价值。
【答案】
期望回报率=4%=上行概率×40%+（1－上行概率）×（-30%） 上行概率=0.4857
下行概率=1－0.4857=0.5143
股价上行时期权到期价值Cu=20×（1+40%）－21=7（元） 股价下行时期权到期价值Cd=0
期权价格=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=（7×0.4857+0×0.5143）÷（1+4%）=3.3999/1.04=3.27（元）。
第七章 期权价值评估（五）
（二）二叉树期权定价模型 1.单期二叉树定价模型
（1）原理（风险中性原理的应用）
（2）计算公式
教材：期权价格=
其中：上行概率=，下行概率=
期权的价格=上行概率×Cu/（1+r）+下行概率×Cd/（1+r）