安徽农业大学2007―2008学年第二学期
《线性代数》试卷（A卷）
考试形式: 闭卷笔试，2小时 适用专业：全校各专业 题 号 得 分
得分 评阅人 一 二 三 四 总 分 一、选择题（每小题3分，共15分）
1.若A、B、C是同阶方阵，且A可逆，则下面命题正确的是(C(A)若BA?BC，则A?C；(C)若AB?O，则B?O；(D)若BC?O，则C?O.)(B)若AB?CB，则A?C；
12.设A为n阶非奇异阵，且A?1??，A*为A伴随矩阵，则A*?(C2(A)(?2)n；(B)(?2)n?1；(C)(?2)n?1；(D)?2n?1.)
3.下列命题正确的是(C)
(A)等价向量组包含的向量个数相等；(B)任一向量组都有极大线性无关组；(D)矩阵的行向量组与列向量组等价.??x1?x2?x3?1?4.设线性方程组?x1??x2?x3?1，有惟一解，则?的值应为(D??x?x??x?123?1(A)0；(B)1；(C)?1；(D)异与0和?1的实数.?114??，且A的特征值为0，5.设A??1x21，2，则x?(A????001??(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.得分 评阅人 (C)向量组的任一极大线性无关组都与向量组本身等价；)
)
二、填空题（每小题3分，共15分）
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1.设A是3阶方阵，且A?a，则?2A?______.
?123?2.已知A???234??200?，B??3?40?，则矩阵????AB的秩r?______. ?357????459??3.已知A???12??0?34??，B??1??10??，则B2008AB2009?__________. 4.若?1?(1，2)，?2?(3，4)，?3?(7，11)，则?1，?2，?3线性______.(填相关或无关5.若n元齐次线性方程组Ax?0有n个线性无关的解向量，则A?______.得分 评阅人 三、计算题
12341.(8分)23413412 4123
12341023412341.2341104111?33412?310412?10000?4?8?160
412310123000?4
?11?1?2.(10分)已知A???011?，且A2?AB?I，求矩阵B.
???001?? 第 2 页共 6页
)
2.解：A?1，故A可逆??????????????(2分)?B?A?1(A2?I)??????????????(4分)?1?12A?1????01?1???????????????(6分)??001???12?1A2????012????????????????(8分)??001???02?3?B???002?????????????????(10分)??000?? 3.(10分)设?1?(1，1，2，3)T，?2?(1，?1，1，1)T，?3?(1，3，3，5)T?T4?(4，?2，5，6)，求向量组?1，?2，?3，?4的秩和一个极大线性无??1114??1114?3.解：记A??1?13?2??0???2135????11?3??0000????????(4分)?3156????0000??故该向量组的秩为2????????????????????极大线性无关组为?1，?2??????????????????4.(14分)求一个正交变换x?Py，将二次型f(x2221，x2，x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3化为标准形，并判断其是否为正定二次型. 第 3 页共 6页
关组.(7分)
(10分)，
?
?122???4.解：对应矩阵为A??212?????????????????(2分)?221???A??I??(??1)2(??5)解得：?1??2??1，?3?5????????????????(5分)当?1??2??1时，??1???解得特征向量为?????1??1??1??，?1?0??????0????1??????1??1?2???6?单位正交化得p?1???p?1??1??，2?????????02???6???????2??6??当?2?5时，?解得特征向量为???1??1?3?????????????1????1??13??单位化得p??3??????????????????13????3??????112?6故正交变换为X?PY，其中P???11?2??26?06标准形为f(yy221,y2,3)??y21??y2?5y3由于存在小于零的特征值，所以不是正定二次 第 4 页共 6页
??????(7分)??????(9分) ?????(10分) ?????(11分)1??13???????(12分13)??3??.??????(14分)????
型
?x1?2x2?3x3?4x4?4，?x2?x3?x4?3，?5.(12分)求解非齐次线性方程组 ??3x4?1，?x1?3x2?7x2?3x3?x4??3.?4??1234?12344??0111??01113?3???????????(2分)5.解：(A?b)????1?3031??073?1?3??R(A?b)?R(A)?3，故该方程组有无穷多对应导出组为??x1?2x2?3x3?4x4?0?x2?x3?x4?0??x3?2x4?0??0?基础解系为：???1?????2???????1??原方程组同解方程组为??x1?2x2?3x3?4x4?4?x?2?x3?x4?3?x3?2x4?6???8?特解为：????3??????????6???0??故原方程组通解为x???k??得分 评阅人 四、证明题(每小题
1.设方阵A满足A2?A?2I?0，证明：2.已知AT??A，证明：如果?是A的一个特征值，则 ??0012?0000解???????????????????8分，共A及A?2I都可逆，并求 5 页共 6页
6?0???????????????????????????分)
A?1及??也是A的一个特征值?(4分)?(6分)
(8分)(10分)(A?2I)?1..
?????????16 第
1.证明：由A2?A?2I?0得A(A?I)?2I，故A可逆???????(2分)1且A?1?(A?I)????????????????????????(4分)2 2又A?2I?A，而A可逆，故A?2I可逆，且??????????(6分)(A?2I)?1?(A2)?1?(A?1)2?
1(A?I)2????????????(8分)42.证明：设x为A的属于特征值?的特征向量，则Ax??x????????????????????????又ATx??Ax???x???..........??????????????所以-?是AT的特征值???????????????????又因为A与AT有相同的特征值???????????????所以??是A的特征值。???????
A卷答案 一、选择题
1、C 2、C 3、C 4、D 5、A 二、填空题
1、 -8a 2、 2 3、??21??43??
..???????????4、 相关 6 页共 6页
5、 O (2分)(4分)(6分)
(7分)(8分) 第