一、第三章习题详解：
?1?2?x?2?y?2?x?y,3.1设二维随机向量(X,Y)的分布函数为:F(x,y)???0,求P1?X?2,3?Y?5解：因为 F(2,5?)?1x?0,y?0,其他
??.
?22??5，2??72F(1,5)?1?2?1?2?5?2?6
F(2,3)?1?2?2?2?3?2?5，F(1,3)?1?2?1?2?3?2?4
所以 P(1?X?2,3?Y?5)?F(2,5)?F(1,5)?F(2,3)?F(1,3)
?2?7?2?6?2?5?2?4?33 ?27128
3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
2C32C23??0.6 且 P(X?2,Y?1)?0，P(X?2,Y?2)?45C531C3C22??0.4，P(X?3,Y?2)?0 P(X?3,Y?1)?45C5故(X,Y)的概率分布为 X\\Y 2 3 1 0 0.4 2 0.6 0
3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为Y?|X?(3?X)|?|2X?3|，又X的可能取值为0,1,2,3 所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)
1311112，P(X?1,Y?1)?C3()()? 8228313121211 P(X?2,Y?1)?C3()()?，P(X?3,Y?3)?()?
22828且 P(X?0,Y?3)?()?312
故(X,Y)的概率分布为
X\\Y 0 1 2 3
3.4设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:
1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 ?a(6?x?y),0?x?1,0?y?2,f(x,y)??
0,其他?(1) 确定常数a;
(2) 求PX?0.5,Y?1.5??
(3) 求P{(X,Y)?D},这里D是由x?0,y?0,x?y?1这三条直线所围成的三角形区域.
解：(1)因为
??1????????f(x,y)dxdy??21200?a(6?x?y)dxdy
1a12?a?[?(6?x?y)]dx??[(6?x)2?(4?x)2]dx
02200?2a?(5?x)dx?9a
01由
??????????f(x,y)dxdy?1，得9a=1，故a=1/9.
(2) P(X?0.5,Y?1.5)???00.51.501(6?x?y)dxdy 91.510.51??[(6?x)y?y2902]dx?010.539[(6?x)?]dx ?09287x5??(?)dx? 086120.5(3) P{(X,Y)?D}???Df(x,y)dxdy??dx?011?x01(6?x?y)dy 9111??[(6?x)y?y2902
1?x]dx?01182(11?12x?x)dx? ?01827?2e?(2x?y),3.5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:f(x,y)???0,(1) 求分布函数F(x,y); (2) 求PY?X?
解：(1) 求分布函数F(x,y); 当x?0,y?0，
x?0,y?0,其他
?F(x,y)??y?????xf(u,v)dudv??y0?x02e?(2u?v)dudv?2?edu?e?vdv?(1?e?2x)(1?e?y)
00x?2uy其他情形，由于f(x,y)=0，显然有F(x,y)=0。综合起来，有
?(1?e?2x)(1?e?y),F(x,y)???0,
(2) 求PY?X?
x?0,y?0,其他
?P{X?Y}??
??0dy?2e?(2x?y)dx??y????02e?ydy?e?2xdxy????
??01?3y??1?3yedy??e?033
3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(X,Y)的概率密度函数为
f(x,y)?1,???x,y???, 222?(1?x?y)求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.
解：P(X?Y?a)?2222x?y?aa??212?(1?x2?y2)dxdy??d??202?a0rdr
?(1?r2)21111a2?2???[?]?1?? 22?21?r01?a1?a2
3.7设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\\Y 1 3 0 0.15 0.05 2 0.25 0.18 5 0.35 0.02
解：因为 P(X?1)?0.15?0.25?0.35?0.75
P(X?3)?0.05?0.18?0.02?0.25
所以，X的边缘分布为
X P 1 0.75 3 0.25 因为 P(Y?0)?0.15?0.05?0.20
P(Y?2)?0.25?0.18?0.43 P(Y?5)?0.35?0.02?0.37
所以，Y的边缘分布为 Y P
3.8 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
0 0.20 2 0.43 5 0.37 ?32?xy,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1,其他
求边缘概率密度fX(x),fY(y). 解：因为，当0?x?2时，fX(x)??????31f(x,y)dy??xy2dy?xy302211?0x；其他情形，2显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为
?x/20?x?2fX(x)??
0其他? 又因为，当0?y?1时，fY(y)??????f(x,y)dx??20323xydx?x2y2242?3y2
0其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为
?3y2fY(y)???0
0?y?1其他
3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f(x,y)??
其他?0,求边缘概率密度fX(x),fY(y).
解，积分区域显然为三角形区域，当0?x?1时，0?y?x，因此
fX(x)??????f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy?2.4(2?x)y0x2x0?2.4(2?x)x2；
其他情形，显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为
?2.4x2(2?x)0?x?1fX(x)??
0其他?同理，当0?y?1时，y?x?1,因此
fY(y)??????f(x,y)dx??4.8y(2?x)dx?2.4y(4x?x2)?2.4y(3?4y?y2)
yy11其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为
?2.4y(3?4y?y2)0?y?1fY(y)??
0其他?
3.10 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
?c,f(x,y)???0,x2?y?x,其他
(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y).
解：(1)因为
??????????1f(x,y)dxdy??dx?2cdy
0x11xx2x3c2?c?(x?x)dx?c(?)??1
02306所以 c = 6.
(2) 因为，当0?x?1时，fX(x)?所以，X的边缘分布密度为
?????f(x,y)dy??2cdy?6(x?x2)
xx