练习 一 (曲线运动、直线运动、圆周运动、抛体运动、相对运动) 一、选择题 1． 质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处的加速度? ( C )
? a BBBv (m/s) B?C ?CCaC2 a ? A1 A2.5 4.5 AAat(s) O 1 2 3 4 (A) (B) (C) (D) ?1
?????解:(C)a指向曲线凹侧,a、v间夹角大于900,速率减小,a、v间夹角小于900,速率增加
2．一质点沿x轴作直线运动，其v?t曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为 . ( B )
(A) 5m． (B) 2m． (C) 0．
(D) ?2 m． (E) ?5 m. 解:(B) 根据曲线下面积计算 3． 一质点沿x轴运动的规律是x=t2?4t+5（SI制）。则前三秒内它的 ( D )
(A)位移和路程都是3m； (B)位移和路程都是?3m；
(C)位移是?3m，路程是3m； (D)位移是?3m，路程是5m。
解: (D)由运动方程得vx?2t?4,令vx?0得t?2s,此值在前三秒内,因此前三秒内质点作回头运动.x(0)?5m,x(2)?1m,x(3)?2m,?x?x(3)?x(0)?2?5??3m,
?s?x(0)?x(2)?x(2)?x(1)?5m
???4． 一质点的运动方程是r?Rcos?ti?Rsin?tj，R、?为正常数。从t＝π/?到t=2π/?时间内 ???y (1)该质点的位移是 (A) -2Ri； (B) 2Ri； (C) -2j； (D) 0。 ( B ) (2)该质点经过的路程是 (A) 2R； (B) πR；(C) 0； (D) πR?。 (B ) ?x?r(?/?)or解: (1)(B),(2)B.由运动方程知质运点轨迹方程为圆, (2?/?)???????r?r(2?/?)?r(?/?)?Ri?(?Ri)?2Ri
???225．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 r?ati?btj（其中a、b为常量）, 则该质
点作 ( B ) (A) 匀速直线运动； (B) 变速直线运动；
(C) 抛物线运动； (D)一般曲线运动．解:(B)x?at,y?bt,y?bx/a
6．某物体的运动规律为dv/dt??kvt，式中的k为大于零的常量．当t?0时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系是 ( C ) (A) v?222121kt?v0； (B) v??kt2?v0； 22vdvt1kt211kt21(C) ?. 解:( C )?2???ktdt ?； (D) ???v0v0v2v0v2v07． 某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。
实际风速与风向为 （ D ）
4km/h 4km/h (A)4km/h，从北方吹来； (B)4km/h，从西北方吹来；
450 (C)42km/h，从东北方吹来； (D) 42km/h，从西北方吹来。
v风对地 解: (D).作图可得 v?风对人 二、填空题 v风对人 1．一质点作直线运动,其加速度随时间变化的关系为a?3?2t (SI),如果初始时刻质点的速度为
v0?5m?s?1,则当t?3s时,质点的速度为v= 。
解:v?v0??tt0a(t)dt?5??(3?2t)dt?5?(3t?t2)30?23m/s
032．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（??0）：
（A）at ?0, an ?0； 。解:变速曲线运动
1
???23．质点的运动方程为r?4ti?(2t?3)j，质点的运动轨迹方程为_______，任一时刻t质点的速度
??????= ，加速度a= 。解: x?(y?3)2; 8ti?2j; 8i
4．一质点沿半径为0.2m的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是?=6+5t2（SI制）。在t=2s时，它的法向加速度an =______；切向加速度at =______。
d?d?222解:???10t(1/s),?(2)?20(1/s),an?R??80m/s;???10(1/s2);at?R??2m/s
dtdt?5．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为?，其方向与水?30?P平方向成30?角。则物体在P点的切向加速度at = ，轨道的曲率半径
?= 。
解:总加速度g在速度方向的投影为at??gcos600??g/2,总加速度g在法线方向
的投影为an?gsin600?3g/2,由an?v2/?,得??v2/an?23v2/(3g)
v乙6．甲船以?1=10m/s的速度向南航行，乙船以?2=10m/s的速度向东航行，则甲船
v甲上的人观察乙船的速度大小为 ，向 航行。 v乙甲北 东
（B）at ?0, an =0； 。解:变速直线运动 （C）at =0, an ?0； 。解:匀速(率)曲线运动
???解:v乙甲=v乙-v甲,102m,东北
三、计算题
1． 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x＝4t－t 4/4（SI制），试计算 ⑴ 最初2s内的位移和平均速度； ⑵ 1s末和3s末的瞬时速度；
⑶ 1s末到3s末的平均加速度。此平均加速度是否可以用a=(a1+a2)/2计算； ⑷ 3s末的瞬时加速度。
?xx(2)?x(0)4?0解:(1)?x?x(2)?x(0)?4m,v????2m/s
?t22dx(2)v??4?t3,v(1)?4?1?3m/s,v(3)??23m/s,
dt(3)a??vv(3)?v(1)?23?3????13m/s2 ?t3?12dv??3t2 加速度不是时间t的线性函数,不可用a?(a1?a2)/2计算. dt(4)a(3)??27m/s2 a?2． 一质点的运动方程为x=3t+5，y=0.5t2+3t+4（SI制）。(1)以t为变量，写出位矢的表达式；(2)求质点的运动轨迹方程；(3)求1s末到2s末质点的位移； (2)求质点在t=4s时速度的大小和方向。
???解:(1)r?(3t?5)i?(0.5t2?3t?4)j
1247?x?5??x?5? (2)y?0.5? ?x?x??3?4???18918?3???3???????????dr?3i?(t?3)j,v(4)?3i?7j (4)v?dt (3) ?r?r(2)?r(1)?3i?4.5j
2?3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?acos?ti?bsin?tj,求:(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
???x2y2解:（1）?x?acos?t,y?bsin?t;?2?2?1,质点轨迹是椭圆.
ab????dr（2）v???(?asin?ti?bcos?tj)
dt????dv?a????2(acos?ti?bsin?tj)???2r??方向恒指向椭圆中心
dt
2
4． 一质点沿x轴作直线运动，其加速度为a=6t，t=2s时，质点以?=12m?s?1的速度通过坐标原点，求该质点的运动方程。
解:a?dv/dt,dv?adt?6tdt,
2 v?dx/dt,dx?vdt?3t?dt,?v12x0dv??6tdt,v?3t2
2tdx??3t2dt,x?t3?8
2t5． 质点P在水平面内沿一半径为R=1m的圆轨道转动，转动的角速度?与时间t的函数关系为?=kt2，已知t=2s时，质点P的速率为16m/s，试求t=1s时，质点P的速率与加速度的大小。 解：v?R??kt，v(2)?4k?16,k?4,v?4t
22v(1)?4m/s,at?dv?8t,at(1)?8m/s2 dtan(1)?v(1)2/R?16m/s2,a(1)?at(1)2?an(1)2?85m/s2
6．当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35 m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．
6．解：选地为静系K，火车为动系K?．由题意知：雨滴对地速度vpK的方向偏前30°，火车行驶时，雨滴对火车的相对速度vpK?偏后45°，火车对地速度vK?K=35 m/s，方向水平． 作图可知：vpKsin30o?vPK?sin45o?vK?K ; vpKcos30o?vPK?cos45o
由此二式解出：vPK???vK?Ksin30??sin45??vpK?cos30cos45???(3?1)?35?25.6m/s 45? 30? vpK??vK?K练习 二 (牛顿第二定律、功、动量定理、动能定理、功能原理及守恒定律) 一、选择题
1． 质量为0.25kg的质点，受F?t i(N)的力作用，t=0时该质点以?=2jm/s的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是 ( ) (A)2t2i+2jm；(B)
???????????t??t???解：(B)a?F/m?4ti,v?v0??a(t)dt?2j?i?4tdt?2j?2t2i
00???t?t2???r?r0??v(t)dt??(2t2i?2j)dt?t3i?2tj(m)
003?23?3?2?ti?2tjm；(C)t4i?t3jm；(D) 条件不足，无法确定。 3432． 一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且m1>m2 (滑轮质量及一切摩
擦均不计)，此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力F= m1g代替m1，系统的加速度大小为a?，则有 ( )
(A) a??a； (B) a??a； (C) a??a； (D) 条件不足，无法确定。
Am1?m2解：(B)m1g?T?m1a,T?m2g?m2a?a?g;
m1?m2?F?m2g?m2a??a??F?m2gm1g?m2g ? . m2m2CB3． 如图所示，质点从竖直放置的圆周顶端A处分别沿不同长度的弦AB和AC (AC
计摩擦阻力。质点下滑到底部所需要的时间分别为tB和tC，则 ( ) (A) tB=tC； (B) tB>tC；
(C) tB 11解：设圆直径为D,?s?at2,?Dcos??gcos?t2,即t?2D/g?与?的大小无关. 22 3 4． 如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A、B两物块质量均为m，A所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。 若忽略一切摩擦，则绳中张力为 （ ） (A) mg；(B) mg/2；(C) 2mg；(D) 3mg/4。 T m NA 解：(D)对A,T?ma?; T a A 对B,mg?T?m(a??g/2);两式相减,解得T?3mg/4. B a?-a m A a? 5． 沙子从h=0.8m高处落到以3m/s速度水平向右运动的传送带上。B mg ?mg 取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用力的方向 （ ） mv (A) 与水平夹角53?向下； (B) 与水平夹角53?向上； ??(C) 与水平夹角37?向上； (D) 与水平夹角37?向下。 ?????0解：(B)I?Ft?mv?mv0,如图tg??v0/v?2gh/v?4/3,??53 mv0?I?Ft6． 用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度为 （ ） (A) 0.41cm； (B) 0.50cm； (C) 0.73cm； (D) 1.00cm。 解：(A).对第一次打击, 第二次打击分别应用动能定理 1111mv2?A1???kxdx?mv2?k (1) 02221?h111120?mv?A2???kxdx?mv2?k(1?h)2?k (2) 1222212(2)?(1)得k(1?h)?k?h?0.41 20?F 20000O2x(cm)题7图7． 一质量为20g的子弹以200m/s的速率射入一固定墙壁内，设子弹所受阻力与其进入墙壁的深度x的关系如图所示，则该子弹能进入墙壁的深度为 （ ） (A)3cm； (B)2 cm； (C)22cm； (D)12.5 cm。 解：(A)由动能定理 11?0.02?2002??20000?0.02?20000?(x?0.02)?x?0.03m 228． 在系统不受外力作用的非弹性碰撞过程中 （ ） (A)动能和动量都守恒； (B)动能和动量都不守恒； (C)动能不守恒、动量守恒； (D)动能守恒、动量不守恒。解：( C ) A二、填空题 1. 质量相等的两物体A和B,分别固定在弹簧的两端,竖直放在光滑水平面C上,弹簧的质量忽略B不计,若把支承面C迅速移走,则在移开的一瞬间,A的加速度大小aA= ,B的加速度大 C小aB= 。解：移开的一瞬间A、B受到的合力分别为零和2mg,因此加速度分别为0, 2g 2. 质量为m的质点，在变力F =kt（k为常量）作用下沿ox轴作直线运动。若已知t=0时，质点处于坐 标原点，速度为?0。则质点的加速度为 ，质点速度随时间变化规律为?= ，质 k3点运动学方程为x= 。解：a?kt, 积分得v?v0?1kt2,x?v0t?t 6m2mm?3. 一质量为m的物体,以初速v0从地面抛出,抛射角为?,如果忽略空气阻力,则从抛出到刚最 ???????解：I?mv?mv0?mv0cos?i?(mv0cos?i?mv0sin?j)??mv0sin?j?mv0sin?;向下 ??????4. 初速度为?0?5i?4j(m/s)，质量为m=0.05kg的质点，受到冲量I?2.5i?2j (N?s) 的作用，则质点的末速度（矢量）为 。 解：I?mv?mv0,v?I/m?v0?(2.5i?2j)/0.05?(5i?4j)?55i?44j(m/s) 高点这一过程中所受冲量的大小为 ；冲量的方向为 。 ?mv0??I?mv????????????5. 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船头走到船尾时，船将移动 多少距离 (假定水的阻力不计)。解：1.2m 6. 人从10m深的井中匀速提水，桶离开水面时装有水10kg。若每升高1m要漏掉0.2kg的水，则把这桶 水从水面提高到井口的过程中，人力所作的功为 。 解：拉力T?10g?0.2gx,A? ?h0Tdx??(10g?0.2gx)dx?(98x?0.98x2)100?882J 0104 三、计算题 1． 摩托快艇以速率?0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F=-k?2（k为正常数）。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后， (1) 求速率?随时间t的变化规律。 (2) 求路程x随时间t的变化规律。 (3) 证明速度?与路程x之间的关系为???0e解:(1)mv0k?xm。 vdvdvktmv0??kv2,分离变量并积分?2???dt, v? (1) 0dtmvm?kv0ttmv0mm?kv0tmv0dt?ln() (2) dt,x??0m?kv0tkmm?kv0t(2) dx?vdt?2． 一根特殊弹簧，在伸长x米时，其弹力为(4x+6x2)牛顿。将弹簧的一端固定， （1）把弹簧从x=0.50米拉长到x=1.00米，试求外力克服弹簧力所作的功。 （2）在弹簧另一端拴一质量为2千克的静止物体，物体置于水平光滑桌面上，试求弹簧从x=1.00米回到x=0.50米时物体的速率。 解:(1)A外??xm?kv0tv0mv0?，代入（2）式得x?ln，v?v0em (3) 由（1）式得 mvkvk?ba F外dx??(4x?6x2)dx?(2x2?2x3)10.5?3.25J0.51（2）根据质点的动能定理 A弹??Ek?12mv 223．质量为m的子弹，以水平速度?0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力F，砂箱与子弹系统损失的机械能?E。 b0.50.5A弹??F弹dx???(4x?6x2)dx??(2x2?2x3)1?3.25J,3.25?1?2?v2,v?1.80m/s a1解:由动量守恒可得子弹相对砂箱静止时的速度大小为v?2mv0 M?m11mM2?mv0?12由质点系动能定理得?Fl?(M?m)?v0 ??mv0??22m?M?M?m?21mM2, ?E?1mMv2 F?v002m?M2lm?M4．一炮弹以速率v0和仰角?0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块， 其中一块以速率v1铅垂下落，求另一块的速率v2及速度与水平方向的夹角(忽略空气阻力)。 mv1解: 炮弹最高点爆炸前后动量守恒 2mv22?mv0cos?0mmmv2cos?,0?v2sin??v1 2222vcos?0v1v222?1解得:v2?v1?4v0cos?0, ??tg. ?sin?11?cos?102v0cos?0v2v2mvcos?0?5． 如图所示，一轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上 静止。今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度?0射入一物块而不复出，求此后弹簧的最大压缩长度。 A B 解: 由动量守恒得mv0?(m?M)v?(m?2M)v? 0 mv0mv0m v?,v??m?Mm?2M从子弹和物块A以共同速度开始运动后,对子弹和物块A、B系统的机械能守恒 5