第三章
3-1
杆可绕过中心的水平轴
刚体力学习题答案
如图 3-1 示, 一轻杆长度为 2l , 两端各固定一小球 ,A 球质量为 2m ,B 球质量为 m ,
O 在铅垂面内自由转动 , 求杆与竖直方
向成 角时的角加速度 .
图 3-1
解：系统受外力有三个，即
A，B 受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力
. 以顺时针方向作为运动的正方向，则
d
l sin
臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用 A
球受力矩为正， B 球受力矩为负，两个重力的力臂相等为
M
2 mgl sin
mgl sin
mgl sin
，故合力矩为
系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和
2
2
2
J 2ml ml
M
3ml
J
2
应用转动定律
有： m gl sin 解得 3-2
g sin 3l
3m l
计算题 3-2 图所示系统中物体的加速度． 设滑轮为质量均匀分布的圆柱体
M , 半径为 r , 在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转
, 其质量为
, 忽略桌面
与物体间的摩擦 , 设 m ＝50kg, m ＝200kg,M＝15kg, r ＝
1
2
0.1m.
图 3-2
解: 分别以 m , m 滑轮为研究对象，受力图如图
1
2
(b) 所示．对 m , m 运用牛顿定律，
1
2
有
m g T
2
2
m a
2
①
T1
对滑轮运用转动定律，有
m1 a ②
1
2
T
2
③
r
T r
1
( 2
Mr )
又，
联立以上 4 个方程，得
a
m
1
a r ④
m g 2 m
2
200
M
5 2
200
9.8 15 2
7.6
m s
2
3-3 飞轮质量为 60kg, 半径为 0.25m, 当转速为 1000r/min 时, 要在 5s 内令其制动 , 求制动 力 F , 设闸瓦与飞轮间摩擦系数
＝0.4, 飞轮的转动惯量可
按匀质圆盘计算 , 闸杆尺寸如图所示 .
图 3-3
解：以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量
1000 rad/s，制动时角加速度为 60
J
1
m R ，制动前角速度 2
2
为
2
- 制动时闸瓦对飞轮的压力为
t
F ，闸
N
瓦与飞轮间的摩擦力 F f
1
2
F N ，运用转动定律，得
F R
f
J
2
m R
则 F
N
mR 2 t
以闸杆为研究对象，在制动力 力矩的作用力臂分别为 l
F 和飞轮对闸瓦的压力
F 的力矩作用下闸杆保持平衡，两
N
(0.50
0.75) m 和 l ＝0-50m，则有
1
Fl F l1
N
0
l1
F
l F
N
l1mR l 2 t
0.50 0.50
0.75
60 0.25 2 1000
N 157
2 0.4 5 60
3-4
设有一均匀圆盘 , 质量为 m , 半径为 R , 可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转 动. 圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为 外力, 求：
, 若用外力推动它使其角速度达到
0 时, 撤去
(1) 此后圆盘还能继续转动多少时间？ (2) 上述过程中摩擦力矩所做的功
.
解：（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩
有
R
2
M 作用下停止转动 - 设盘质量密度为
f
m R
2
，则
2
g 2
r dr
3
m gR
M
f
0
根据转动定律
M f J
, J
1
2
4 g 3R
2
m R
t
0
3R
0
4 g
（2）根据动能定理有
摩擦力的功
W
f
1
2
1
2
2 0
0
2
J
0
m R 4
3-5 如题3-6 图所示 , 一匀质细杆质量为 m , 长为 l , 可绕过一端 O 的水平轴自由转动 , 杆 于水平位置由静止开始摆下．求： (1) 初始时刻的角加速度； (2) 杆转过 角时的角速度 .
图 3-6
解: (1) 由转动定律，有
1 mg 2
1 2 ) ( ml 3 3 g 2l
∴
(2) 由机械能守恒定律，有
l
mg sin
2 1 1 2
( ml ) 2 3
2
3g sin
∴
l
3-6
固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴
O O 转动．设大小圆柱
体的半径分别为 R 和 r , 质量分别为 M 和m ．绕在两柱体上的细绳分别与物体
m 和 m2 相
1
连, m 则挂在圆柱体的两侧 , 如3-8 图所示．设 R ＝0.20m, r ＝0.10m, m ＝4 kg, M m 和
1
＝
2
10 kg, m ＝ m ＝2 kg, 且开始时 m , m 离地均为 h ＝ 1 2 1 2
2 m．求：
(1) 柱体转动时的角加速度； (2) 两侧细绳的张力．
解: 设 a , a 和β分别为 m , m 和柱体的加速度及角加速度，方向如图
( 如图 b) ．
1
2
1
2
(a) 图
(b) 图
(1) m , m 2 和柱体的运动方程如下：
1
T2
m g
m a
①
2
2
2
m1 g T
m a
②
1
1
1
T1
T r
I ③
R
2
式中 T
T T T a r
a R
1
,
,
,
1
2
2
2
1