1
2
1
2
而 由上式求得
I
2
MR
2
mr
rm Rm 1 g 2 2 2
m R I r
m 1
2
0.2 2 0.1 2
1 1 2 2 2 2
10 4 0 .10 2 0 .20 2 0 .10 2 0 .20 2
2
9.8
6 .13 rad s
(2) 由①式
T2
由②式
T1
m g
1
m r
2
m g
2
2 0 .10 6 .13 2 9.8 20 .8 N
m R
1
9.8 2 0.2. 6 .13 2
17 .1 N
3-7 一风扇转速为 900r/min, 当马达关闭后 , 风扇均匀减速 , 止动前它转过了 75转, 在此过 程中制动力做的功为 44.4J, 求风扇的转动惯量和摩擦力矩
.
2 N ，摩擦
解：设制动摩擦力矩为 力矩所做的功为
A
M 1
A
0
2
M ，风扇转动惯量为 J ，止动前风扇的角位移
M 2 N
2
摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即
J
2 A J
2
2 ( 44.4)
2
0.01 kg m
0.0942 N m
2
(900
2 / 60)
44.4 75
M
A 2 N
2
3-8
一质量为 M 、半径为 r 的圆柱体 , 在倾斜 角的粗糙斜面上从距地面
而下, 试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度 .
h 高处只滚不滑
解： 在滚动过程中，圆柱体受重力 M g 和斜面的摩
擦力 F 作用，设 圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速
率为 v ，则此时质心的平动动能为 动，其转动动能为
1 2
2
1 2
M v ，与此同时，圆柱体以角速度
2
绕几何中心轴转
M gh ，由于
J .将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为
圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，
于是有
1
2
1
2
式中
M gh M v 2
1
2
J 2
r ，代入上式得
J
2 1
M r , v
1
2
2 2
M gh
( M r 2
2
M r )
即 3-9
2 r
gh 3
k
2.0 N/m,它的一端固定 , 另一端通过一条细绳绕过一个
一个轻质弹簧的倔强系数
定滑轮和一个质量为 m ＝80g 的物体相连 , 如图所示 . 定滑轮可看作均匀圆盘 , 它的质 量为 M ＝100g, 半径 r ＝0.05m. 先用手托住物体 m , 使弹簧处于其自然长度 手. 求物体 m 下降 h ＝0.5m 时的速度为多大？忽略滑轮 轴上的摩擦 , 并认为绳在滑轮边缘上不打滑
.
, 然后松
图 3-11
解：由于只有保守力（弹性力、重力）做功，所以由弹簧、滑轮和物体 械能守恒，故有
1
2
m 组成的系统机
1
2
1
2
mgh
v
kh 2
1
r , I
2 2
I
2
2
mv
M r
所以 v
2 m gh 1 M 2
kh m
2
1.48 m/s
3-10 有一质量为 m 、长为 l 的均匀细棒 , 静止平放在滑动摩擦系数为
1
的水平桌面上 ,它
可绕通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动
2
. 另有一水平运动
A 相碰撞 , 设 V 和V 2 ,如图
示 ,
1
m 的小滑块 , 从侧面垂直于棒与棒的另一端 的质量为
碰撞时间极短 . 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
1
2
（已知棒绕 O
点的转动惯量
J
图 3-12
m l ）.
1
3
解： 对棒和滑块组成的系统， 因为碰撞时间极短， 所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于相 互间的冲量矩， 故可认为合外力矩为零， 所以系统的角动量守恒， 且碰撞阶段棒的角位移 忽略不计，由角动量守恒得
1
m v l
2 1
2
m v l
2
2
m l
1
3
碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为
t
m
1
1
d x
m g l
1
M
f
0
g l
2
由角动量定理得转动过程中
t 0
1
2
M
f
d t 0
3
m l
1
联立以上三式解得： t
V 2m 2 1
V
2
m g
1
3-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．
10 m 时的速 它离太阳最近距离为
r ＝8.75 × 10
1
4m· s-1 , 它离太阳最远时的速率是 率是
v ＝5.46 × 10
2
m· s-1 ，这时它离太阳
v ＝9.08 × 10
2
1
的距离 r2 为多少 ?( 太阳位于椭圆的一个焦点 .)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用， 哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
r1 mv
1
所以角动量守恒； 又由于
r mv 2
2
10 4
r v
1 1
8 .75 10 5 .46 10
12
∴ r
2
5. 26 10
v
2
m
9. 08 10
2
3-12 平板中央开一小孔 , 质量为 m 的小球用细线系住 , 细线穿过小孔后挂一质量为 M 1 的重
物．小球做匀速圆周运动 , 当半径为 r 时重物达到平衡． 今在 M 的下方再挂一质量为 M 2
0 1
的物体 , 如 3-14 图．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度
和半径 r 为多少 ?
图 3-14
解: 在只挂重物时 M ，小球作圆周运动的向心力为
1
M 1 g ，即
2
M 1 g mr
0
0
①
挂上 M 后，则有
2
2
( M
1
M
2
g
)
m r ②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即
r mv
0
0
r m v
2 2
0
r 0 r ③
联立①、②、③得
M g
1
0
m r
0
2
M g M
1
1
M
2
3
( mr
0
)
M
1
M
1
M
2
M
1
r
2
g
3
r
0
m M
1
M
2
3-13 如图示 , 长为 l 的轻杆 , 两端各固定质量分别为 m 和 2m 的小球 , 杆可绕水平光滑轴
在竖直平面内转动 , 转轴 O 距两端的距离分别为 l / 3 或 2l / 3 . 原来静止在竖直位置 . 今
有一质量为 m 的小球 , 以水平速度 v 与杆下端的小球 m 做对心碰
0
撞, 碰后以 v0 / 2 的速度返回 , 试求碰撞后轻杆所获得的角速度 .
图 3-13
解：将杆与两端的小球视为一刚体，水平飞来的小球 逆时针转动为正方向，则由角动量守恒得
2l
v 2l
m 与刚体视为一系统，在碰撞过程中，
- 选
外力包括轴 O 处的作用力和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒
0
mv
0
m
3 2l
2
J
2 3 l
2
J
m (
3
)
2m ( )
3