概率论与数理统计练习题
系专业班姓名学号
第三章多维随机变量及其分布（一）
一、填空题：
?Axy2,0?x?1,0?y?11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则常数
?0,其他A?1/6。
1?????????f(x,y)dxdy?A?xdx?ydy?A00112x22|10y33|0?6A1
?Aarctanx?arctany,x?0,y?02、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，
0,其他?则常数A?4/?2。
1?F(??,??)?Alimarctanxlimarctany?Ax??y???24
二、计算题：
1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：
（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ?0X???1若第一次出的是正品?0，Y??若第一次出的是次品?1若第二次出的是正品若第二次出的是次品
试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：1．（1）放回抽样（2）不放回抽样
2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求
（1）P{12?X?32,0?Y?4}，
Y 0 1 X 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 Y 0 1 X 0 15/22 5/33 1 5/33 1/66 X Y 11/4201/41/163001/1641/161/40123（2）P{1?X?2,3?Y?4}
1/160P{12?X?32,0?Y?4}解：（1）?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?1)，
?1/4P{1?X?2,3?Y?4}（2）?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3)?P(X?2,Y?4)
?5/16
3．设随机变量(X,Y)的联合分布律如表： 求：（1）a值；（2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y) （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y) 解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3
?0x<1或y<-1??1?41?x?2,?1?y?0??5（2）F(x,y)??x?2,?1?y?0?12?1?1?x?2，y?0?2??1x?2,y?0（3）
Y?1 0 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a
X
Y 0 1 p? j
-10 1/41/4 1/61/3 5/12 7/12
pi?
1/2
1/2
?0x?1??1FX(x)??1?x?2；?2x?2??1?0y??1??5FY(y)???1?y?0.
?12y?0??10 （1）常数k；（2）求P{X?1,Y?3}；（3）P{X?1.5}；（4）P{X?Y?4} 242（1） ??0k(6?x?y)dydx?1?k?18; 38; ） （2）P（ (X?1,Y?3)???013218(6?x?y)dydx?3 P(X?1.5)?P(X?1.5,2?Y?4)?24?x2??01.54218(6?x?y)dydx?2732; （4）P(X?Y?4)???018(6?x?y)dydx?23. 概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第三章多维随机变量及其分布（二） 一、选择题： 1、设随机变量X与Y独立，且X?N(?1,?12),Y?N(?2,?22)，则Z?X?Y仍服从正态分布，且有 [ D ] （A）Z?N(?1??2,?12??22) (B) Z?N(?1??2,?12??22) (C) Z?N(?1??2,?12??22) (D) Z?N(?1??2,?12??22) 2、若(X,Y)服从二维均匀分布，则[ B ] （A）随机变量X,Y都服从均匀分布（B）随机变量X,Y不一定服从均匀分布 （C）随机变量X,Y一定不服从均匀分布（D）随机变量X?Y服从均匀分布 二、填空题： ?2xy,0?x?1,0?y?2?x?1、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??， 3?0,其他.?则P(X?Y?1)?。 101?x01?P(X?Y?1)?1??dx?(x?2xy3)dy?1??(01x6?2x32?5x63)dx?78 ?32?x,0?x?22、设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}?0,其他?与B?{Y?a}相互独立，且P(A?B)?34，则a?a034。 a3P(A)?P(X?a)?1?P(X?a)?1??3x82dx?1?8 2P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?2P(A)?[P(A)] ?2(1?a38)?(1?a38)?1?2a664?34 三、计算题： 1．已知P{X?k}?ak,P{Y??k}?bk2,(k?1,2,3)，X与Y独立，确定a，b的值，求 出(X,Y)的联合概率分布以及X?Y的概率分布。 解：由归一性?P(X?k)?a?ka2b9?a3?11a6?1所以a?611 由归一性?P(Y??k)?b?kb4??49b36?1所以b?3649 (X,Y)的联合概率分布 由于P(X?Y??2)?P(X?Y??1)?24539Y?3?2?1 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 6 665394925112672P(X?Y?0)?P(X?Y?1)?P(X?Y?2)? 539539539X?Y的概率分布为： ?X?YP?224539?16653902515391126539272 539 ?12e?3x?4y,x?0,y?02．随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)??，分别求下列概率 其他?0,密度函数：（1）Z?X?Y；（2）M?max{X,Y}；（3）N?min{X,Y}。 解：（1）FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ???x?y?zf(x,y)dxdy??z0dx?z?x012e?3x?4ydy ?3?e0z?3x(1?e?4(z?x))dx ?3x?(?e?3ex?4z)|0 z?1?4e?3z?3e?4z z?0z?0??12e?3z0?即FZ(z)???3z?4z?3e?1?4e 所以 Z的概率密度函数为fZ(z)??0?12e?4zz?0z?0