?(┐p∨q)∨(┐q∧┐r) ?┐p∨(q∨┐q)∧┐r ?1
10.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数. 推理的形式结构为
(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r) ?(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r) ?┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律) ?p∨(┐q∧┐r) ?
∨
∨
∨
由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确. 11.略
14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明 ① p→(q→r) 前提引入 ② P 前提引入 ③ q→r ①②假言推理 ④ q 前提引入 ⑤ r ③④假言推理 ⑥ r∨s 前提引入 （2）证明：
① ┐(p∧r) 前提引入 ② ┐q∨┐r ①置换 ③ r 前提引入 ④ ┐q ②③析取三段论 ⑤ p→q 前提引入 ⑥ ┐p ④⑤拒取式 （3）证明：
① p→q 前提引入 ② ┐q∨q ①置换 ③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换 ④ ┐p∨(q∧p ③置换 ⑤ p→(p∨q) ④置换
15.(1)证明：
① S 结论否定引入 ② S→P 前提引入 ③ P ①②假言推理 ④ P→(q→r) 前提引入 ⑤ q→r ③④假言推论 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
（2）证明：
① p 附加前提引入 ② p∨q ①附加 ③ (p∨q)→(r∧s) 前提引入 ④ r∧s ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s∨t ⑤附加 ⑦ (s∨t)→u 前提引入 ⑧ u ⑥⑦拒取式
16.(1)证明：
① p 结论否定引入 ② p→ ┐q 前提引入 ③ ┐q ①② 假言推理 ④ ┐r∨q 前提引入 ⑤ ┐r ③④析取三段论 ⑥ r∧┐s 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧ ┐r∧r ⑤⑦合取 （2）证明：
① ┐(r∨s) 结论否定引入 ② ┐r∨┐s ①置换 ③ ┐r ②化简 ④ ┐s ②化简 ⑤ p→r 前提引入 ⑥ ┐p ③⑤拒取式 ⑦ q→s 前提引入 ⑧ ┐q ④⑦拒取式 ⑨ ┐p∧┐q ⑥⑧合取 ⑩ ┐(p∨q) ⑨置换 口 p∨q 前提引入 ⑾①口 ┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取
17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。 前提：(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s 结论：r 证明：
① q→s 前提引入 ② ┐s 前提引入 ③ ┐q ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤ p∧┐q ③④合取 ⑥（p∧┐q）→r 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理
18．（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。 前提：p→(p∨r) , s→┐q , p , s 结论：r 证明：
① s→┐q 前提引入 ② s 前提引入 ③ ┐q ①②假言推理 ④ p 前提引入 ⑤ p→(q∨r) 前提引入 ⑥ q∨r ④⑤假言推理 ⑦r ③⑥析取三段论
（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。 前提：p→q ,┐r→p ,┐q 结论：r 证明：
① p→q 前提引入 ② ┐q 前提引入 ③ ┐p ①②拒取式 ④ ┐r→p 前提引入 ⑤ r ③④拒取式
返回
第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念
本章自测答案
1.将下面命题用0元谓词符号化：
(1) 小王学过英语和法语。
(2) 除非李建是东北人、 否则他一定怕冷。(1) 破产令 f (x): x 学过英语;F (x): x 学过法语;答： 小王。符号化为 F(a)∧F(b)。或进一步细分，L (x，y) 破产令： x 学过 y;答： 小王 ；b1： 聚会 ；b2： 法语。则符号化为 L （a、 b1 等） ∧L （a、 b2 等）。(2) 破产令 f (x): x 是东北人;G (x): x 怕冷;答： 李建。符号化为 ?F(a)→G(a) 或 ?G(a)→F(a)。或进一步细分，H (x，y) 破产令： x，y 地方人;G (x): x 怕冷;答： 小王 ；b: 东北。则符号化为 ?H （a、 b)→G(a) 或 ?G (a) →H （a，b）。
2.在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为 (a)、 (b) 时命题的真值：
(1) 凡有理数都能被2整除。(2) 有的有理数能被2整除。其中 (a) 个体域为有理数集合，(b) 个体域为实数集合。() 1(a) 中，?xF(x)，其中，f (x)： x能被2整除，真值为0。(b) 中，?x(G(x) ∧F(x))，其中，g (x)： x为有理数，F (x) 同 (a) 中，真值为0。() 2(a) 中，
?xF(x)，其中，f (x)： x能被2整除，真值为1。(b) 中，?x(G(x) ∧F(x))，其中，F (x) 同 (a) 中，g (x)： x为有理数，真值为1。
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：
F(x):
2=(x+
)(x
). 2=(x+
)(x
).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:
(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数
命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人
命题符号化为: ??x(F(x)?H(x))
4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))?x( F (x) →G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数； (2)┐x( F (x) →G (x) ) ?x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人； (3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的； (4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。 因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。
5.(1)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快； (2)xy (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车,
H(x,y)：x比y快；
(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))?x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快； (4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))?xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。
6.各命题符号化形式如下： (1)xy (x ．y = 0)； (2)xy (x ．y = 0)； (3)xy (y =x+1) (4)xy(x ．y = y．x) (5)xy(x ．y =x+ y) (6)xy (x + y ＜0 )
7.将下列各公式翻译成自然语言，个体域为整数集，并判断各命题的真假。 (1) ?x?y?z(x ?y = z) ；(2) ?x?y(x?y = 1)。
(1) 可选的翻译： ①\任意两个整数的差是整数\②\对于任意两个整数，都存在第三个整数，它等于这两个整数相减\。③\对于任意整数 x 和 y，都存在整数 z，使得 x ?y = z.\选③，直接翻译，无需数理逻辑以外的知识。以下翻译意思相同，都是错的:\有个整数，它是任意两个整数的
y = z.\这3
差\存在一个整数，对于任意两个整数，第一个整数都等于这两个整数相减\。\存在整数 z，x，y 使得对于任意整数、 都有 x ?个句子都可以符号化为 ?z?x?y (x ?y = z）。量词顺序不可随意调换。
(2) 可选的翻译： 21 ①\每个整数都有一个倒数\②\对于每个整数，都能找到另一个整数，它们相乘结果是零\。③\对于任意整数 x 都存在整数 y，使得 x?y = z.\
8.指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现： (3) ?x?y (F (x，y) ∧G (y，z)) ∨?xH (x，y，z) ?x?y (F (x，y) ∧G (y，z)) ∨?x H (x，y，z) 前件 ?x?y (F (x，y)
∧G (y，z)） 中，?的指导变元是 x ?的辖域是 ?y (F (x，y) ∧G (y，z)) ；?的指导变元是 y、 ?的辖域是 （F (x，y) ∧G (y，z))。后件 ?xH (x，y，z) 中，?的指导变元是 x，?的辖域是 H (x，y，z)。整个公式中 x 约束出现两次，y 约束出现两次，自由出现一次;z 自由出现两次。
9.(1)对任意数的实数x和y,若x ＜y,则x ≠ y； (2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x＜y； (3)对任意数的实数x和y,若x＜y,则x–y≠0； (4)对任意数的实数x和y,若x–y ＜0,则x=y. 其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.
10. 给定解释I如下：
（a） 个体域D=N(N为自然数集合).