(6) 加法单位元0，没有零元，每个元素x都可逆，其逆元是它的相反数 – x 。 当n = 1时，乘法有单位元1，只有两个可逆元素：1 = 1, ( - 1) = - 1. 当n＞1时乘法没有单位元和可逆元素。 (7)没有单位元和零元，也没有可逆元素。 (8)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1 (9)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1 (10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。
8.(1)不可交换。反例：<0,1> * <1,2> = <0,1>,<1,2> * <0,1> = <0,3>. 可结合，因为 ,
* (
不是幂等的，因为<1,1> * <1,1> = <1,2>
(2) 容易严整<1,0>为单位元，没有零元，当 a≠0 时，的逆元为<1/ a,- b/a>
11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元，零元是1； (3)能构成代数系统。满足交换律、结合律，单位元是10，零元是1。 15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能
第十一章 半群与群
本章自测答案
2.(1)构成半群、独异点和群；
(3)构成半群，不构成独异点，也不构成群； (4)构成半群、独异点和群
5.(1)假设a*b ≠ b*a，那么或者a*b = a , a = b ；或者a*b = b , b*a = a。若为前者，则 (a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a 与结合律矛盾，若为后者，有
(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b 也与结合律矛盾。
(2) 假设b*b = a ，那么或者a*b = b*a = a，或者a*b = b*a = b 。若为前者，则 (b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a 与结合律矛盾，若为后者，有
(b*a)*a = b*a = b ; b*(a*a) = b*b = a 也与结合律矛盾。
7.任取a + bi , c + di?G , 有
(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)i?G 任取a + bi , c + di , e + i ?G ,有
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((a + bi)+(c + di))+(e + i)=(a + c)+(b + d)i +(r + i) = (a + c + e) + (b + d + ) i 同理
(a + bi)+((c + di)+(e + i))=(a + c + e) + (b + d + ) i 单位元是0，a + bi的逆元是 – a – bi .
9. 能构成群，运算封闭。 x , y , z ?A , 有
(xy)z = (x + y - 2) z = (x + y - 2) + z – 2 = x + y + z – 4 x(yz) = xо(y + z - 2) = x + (y + z - 2) – 2 = x + y + z – 4 结合律成立，单位元是2，x的逆元是4 – x。
11．设矩阵A=, B=， C=， D=，
那么运算表如表11.7所列
·
A B C D
A B C D
A B C D B A D C C D A B D C B A
13.(2)a,b?G有
(ab)(ba)=a(bb)a=aa=e (ba)(ab)=b(aa)b=bb=e
因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性，命题得证. (4) 当m，n为自然数时任意给顶n，对m进行归纳， a?G，有 m = 0,(a)= e = a 假设(a)= a (a)
，则 =(a)a=a
a=a
= a
根据归纳法，命题得证.
下面对n或m小于0的情况进行验证,不妨设n＜0,m≥0,则n=-t,t＞0 (a)=(a)=((a))=(a) 其他类似情况可以类似加以验证.
(5)设G为交换群，当n为自然数时对n归纳。 N = 0,(ab)= e = ee = ab 假设(ab)= ab,则 (ab)
= (ab)(ab) =(ab)ab = a(ba)b
b
=a
=a
= a(ab)b = (aa)(bb) = a 根据归纳法，命题得证. 若n＜0,令n=-m,m＞0 ，那么有 (ab)=(ba)=(ba)
=((ba))=(ab)
=(a)(b) =ab=ab
16.若x?G有x= e,因此x?G有x= x.x ,y?G，有 xy = (xy) = yx = yx
17.设a是幕等元，则aa = a,即aa = ae.根据消去律必有a = e.
19.由x=e?|x|=1或2,换句话说。对于G中元素x，如果|x|＞2,必有x≠x，由于|x|=|x|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个，那么剩下的1阶元总共应该是偶数个，1阶元只有1个，就是单位元，从而证明了G中必有的2阶元.
22.a?N(a),N(a)≠,任取x,y?N(a),有
ay = ya ? a(ay)a= a(ya)a ? ya = a y (xy)a = x(ya) = x(ay) = x(ya) = x(ay ) = (xa)y = a(xy ) 根据判定定理，N(a)为G的子群。
30.(1)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {-1,1},ker = 2Z;
(2)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {cosx + i·sinx｜x?Z},ker = {0};
(3)是同态，不是单同态，是满同态，()={cosx + i·sinx｜x?R}= A,ker ={2kπ｜k?Z}
31.设
：x,y?
→ ，： → ，因此: → ,
，有 (xy) =
(
(xy)) =
(
(x)
(y))
=((x))((y)) =(x)(x)
因此是到的同态。
32.由于： → 是双射，因此：→ 也是双射。
x,y?,a,b?,使得(a) = x,(b) = y.从而得到
(x)= a,(y) = b
(xy) =((a)(b)) = ((ab)) = ab =(x)(y)
33.设是循环群，a，a?有
aa=ａ
=ａ
=ａａ
因此G是Abel群，但是Abel群不一定是循环群，例如KIein四元群是Abel群，但不是循环群。
34.设=,: → ,y?(),ａ?,使得(ａ)=y
y=(ａ)=()=()=((a))
因此(a)是生成元，即()=<(a)>.
35.(1)生成元为a,a,a,a,a,a,a,a
(2)子群为
36.(1)στ=，τσ=，σ=，τ=，στσ=
(2)στ= (1 4 2 3 )，τ = (1 4 2 5 3 )， στσ = (1 5 2 4 3 )
(3)στ = (1 4)(1 2)(1 3)奇置换 τ σ
= (14)(12)(15)(13)偶置换 τσ = (15)(12)(14)(13) 偶置换
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第十二章 环与域
本章自测答案
4．（1）是环，是整环，也是域； （2）不是环，因为关于加法不封闭；
（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元；
（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，关于加法不构成群； （5）不是环，因为关于乘法不封闭。
6.(1) ( - a )( - a) = - - (a a) = 1 , ( - a)( - a ) = - - ( a a ) = 1 因此 - a 是( - a)的逆元，根据逆元的唯一性得( - a) = - a (2) (b a )(a b) = b (a a) b = 1 , (ab) (b a ) = a (b b ) a = 1 因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性有(a b) = b a .
十三章
1.图13.9中给出6个偏序集的哈斯图.判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由。d c d c b (a) (b) g f f d e d c b c (d) (e) f d e b b (c) d e b b (f) f e c f e c 图13.9 ????? (a)、 (c)、 (f) 是格。(b) 中的 {e、 d} 没有最大下界。(d) 中的 {d，e} 没有最大下界。(e) 中的 {a，b} 没有最大下界。
2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。(1) L = {1，2，3，4，5} (2) L = {1、 2、 3、 6、 12} (3) L = {1、 2、 3、 4、 6、 9、 12、 18、 36} (4) L = {1，2，2 2，...，2n} n? + (1) 不是格、 其他都是。
3.(1) 群〈 12，⊕〉的子群格。?? (2) 画出3元对称群S3的子群格。见答图。52 12 S3 〈3〉 〈6〉 〈0〉 〈2〉 (1) 〈 (12) 〉〈 (123) 〉〈 (23) 〉〈 (13) 〉 〈4〉 〈 (1) 〉 (2) 第3题答图 13.4.4.设L是格，求以下公式的对偶式： (1) a∧(a∨b) (2) a∨∧(b∧c) (3) b∨(c∧a) (1) a∨(a∧b) ??(2) a∧(b∨c) ??(3) b
(c∨a) (a∨b) ∧(a∨c) (b∨c) ∧a。(a∧b) ∨(a∧c) (b∧c) ∨a
b = b ∧
5.设?为集合S上可交换、 可结合的二元运算、 若a、 b是S上关于?运算的幂等元、 证明a?b也是关于?运算的幂等元。掌握 ∨c (?b) ? (?b) = ((a ?b) ?a) ?b = (?(a ?b)) ?b = ((a ?a) ?b） ?b = （....
8、 设〈L、 证明〈S、 〉是格、 任取a?L。破产令 S = {x | x?L∧y x，x ∨y ∨a =，x ∨y ?xa}。〉是〈L，〉的子格。S非空。?x y ?S a、 y 有x，从而x ∧
y ?S。因此 〈S、 〉是 〈L、 〉的子格。
S，即S对运算 ∧，∨ 是封闭的，于是x ∧13.9.9.针对图13.9中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。(b)、 (d) (e) 不是格。(a) a与d互补;b、 c没有补元。(c) a与f互补;b的补元为c，d ；c的补元为b、 e ；d的补元为b、 e ；e的补元为c，d。(f) a与f互补;b的补元为e ；c和d没有补元 ；e的补元为b。10.说明图
9中的每个格是否为分配格、 有补格和布尔格、 并说明理由。(b)、 (d) (e) 不是格。(a) 是分配格，因为不包含与钻石格和五角格同构的子格 ；不是有补格和布尔格、 b、 c没有补元。(c) 不是分配格、 不是布尔格、 因为包含五角格作为子格 ；是有补格、 a与f互补、 b和e的补元有c、 d;c、 d的补元有b、 e。(f) 是分配格，因为没有5元子格与钻石格或五角格同构 ；不是有补格，也不是布尔格，因为c和d没有补元。11.证明定理13.8。12.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统 （半群、 独异点、 去、 圆心、 域、 攫、 城市尔代数)、 并说明理由。??(1) S1 = {0，1，? 1}，运算为普通加法和乘法。??(2) S2 = {a1，a2，...，n}，?a i，j?S2，i * j = i.这里的n是给定的正整数，且n≥2。??(3) S3 = {0，1}，* 为普通乘法。??(4) S4 = {1，2，3，6}，和 * 分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。??(5) S5 = {0，1}，* 为模2加法，为模2乘法。(1) 不是代数系统，对于加法不封闭。(2) 是半群但不是独异点、 运算封闭、 有结合......
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第十四章部分课后习题参考答案
3 写出图14.17中各图的度数列，对有向图还要写出出度列和入度列。解 (a) 图G1的度数列d = （3、 2、 2、 2、 1）。(b) 图G2的度数列d = （3、 2、 2、 1、 2)。(c) 图D1的度数列d = (2、 4、 2、 3、 3，0);出度列d + = (1、 2、 1、 2、 1、 0） ；入度列d ?? = （1、 2、 1、 1、 2，0）。
4.(1)写出图14.18(a)中顶点中v1的邻域N(v1) 与闭邻域?N (v1)。(2) (b) 写出图14.18 中顶点中u1的先驱元集??? (u1) 后继元集?? + (u1)、 邻域N (u1) 与闭邻域?N (u1)。56 v2 v1 u1 v5 v3 v4 u4 (a) (a) 顶点v1的邻域N 图14.18 (v1) = {v2、 v3、 v4}、 闭邻域?N (v1) = {v1、 v2、 v3、 v4}。u2 u3 u5 (b) (b) 中顶点中u1的先驱元集??? (u1) = {u3、 u4}，后继元集?? + (u1) = {u2，u3}，邻域N (u1) = ??? (u1) ∪ ?? + (u1) = {u2、 u3、 u4}、 闭邻域?N (u1) = N (u1) ∪ {u1} = {u1、 u2、 u3、 u4}。G有10条边、 3度与4度顶点各2个、 其余顶点的度数均小于3、 问G中至少有几个顶，将为? 在最少顶点的情况下、 写出G的度数列、 ??(G)、 ??(G)。解设有x个2度顶点。由握手定理 2 m = 2·10 = ↖d(v i) ≤2·3 + 2·4 + x·2，