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????1d????d?DD
几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4. 若在D上,f?x,y????x,y?,则有不等式
??Df(x,y)d?????(x,y)d?D
特别地,由于?f?x,y??f?x,y??f?x,y?，有
??Df(x,y)d????Df(x,y)d?
5. 估值不等式
设M与m分别是f?x,y?在闭区域D上最大值和最小值,?是M的面积,则
m?????Df(x,y)d??M??
6. 二重积分的中值定理
设函数f?x,y?在闭区域D上连续, ?是D的面积,则在D上至少存在一点??,??,使得
??Df(x,y)d??f(?,?)??
2222例1 估计二重积分???x?4y?9?d?的值,D是圆域x?y?4。
D解 求被积函数f?x,y??x?4y?9在区域D上可能的最值
22??f?2x?0???x??f??8y?0??y?
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?0,0?是驻点,且 f?0,0??9；
在边界上,f(x,y)?x?4(4?x)?9?25?3x(?2?x?2)
13?f(x,y)?25
222f于是有
max?25f?9,min,
36??9?4??I?25?4??100?
小结：
二重积分的定义（和式的极限）
二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 作业：
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第二节 二重积分的计算法
教学目的：深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧 教学重点：熟练掌握二重积分计算 教学难点：二重积分在极坐标下的计算 教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分??f?x,y?d?的计算问题。
D讨论中,我们假定f?x,y??0； 假定积分区域D可用不等式 a?x?b其中?1?x?,?2?x?在?a,b?上连续。
?1(x)?y??2(x)表示,
图9-2-1 图9-2-2
据二重积分的几何意义可知, ??f?x,y?d?的值等于以D为底,以曲
D面z?f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积。
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图9-2-3
在区间?a,b?上任意取定一个点x0,作平行于yoz面的平面x?x0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间???1?x0?,?2?x0???为底,曲线z?f?x0,y?为曲边的曲边梯形,其面积为
A?x0?????1?2?x0?x0?f?x0,y?dy
一般地,过区间?a,b?上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
A?x?????1?2?x?x?f?x,y?dy
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
??2(x)?V??A(x)dx????f(x,y)dy?dx??a?(x)a?1?
bb从而有
??(x)?2??f(x,y)d?????f(x,y)dy?dxa??(x)??1? (1)
b??D上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常
数,f(x,y)只看作y的函数,对f(x,y)计算从?1(x)到?2(x)的定积分,
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然后把所得的结果( 它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分。
这个先对y, 后对x的二次积分也常记作
bDa?2(x)?1(x)??f(x,y)d???dx?f(x,y)dy
在上述讨论中,假定了f?x,y??0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的
f(x,y) (在D上连续),公式(1)总是成立的。
例1 计算 I???(1?x)d?D1222D?{(x,y)|?1?x?1,0?y?2}
I?解
?dx?(1?x?10)dy???(1?x?1122)y?dx0
1??2(1?x)dx?2x??12231x3?1?83
类似地,如果积分区域D可以用下述不等式
c?y?d,?1(y)?x??2(y)
表示,且函数?1(y),?2(y)在[c,d]上连续, f?x,y?在D上连续,则
?2(y)d??2(y)???f(x,y)d?????f(x,y)dx?dy??dy?f(x,y)dx?Dc?c?1(y)??1(y)?(2)
d