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图9-2-4 图9-2-5
显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题 1. 积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于y轴(x轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。 2. 积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
画出积分区域D的图形(假设的图形如下 )
图9-2-6
在?a,b?上任取一点
x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,
(x,?1(x))与(x,?2(x)),这里的?1(x)、
与区域D的边界有两个交点
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?2(x)就是将x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间
上?a,b?上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、限为b。
xyd?, 其中D是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的
2例2 计算??D区域。
解 积分区域可用下列不等式表示
D:?1?y?2,y?x?y?2
2?12?xyd??dyxydx???????xy?2?2?D?1y?12y?22y?2dyy2
?122?y(y?2)?y?1?25?dy?458
例3 求由曲面z?x?2y及z?6?2x?y所围成的立体的体积。 解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在xoy面上的投影区域
2222
图9-2-7
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消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2?y2?2,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域
D:x?y?2
222. 列出体积计算的表达式
V???[(6?2x?y)?(x?2y)]d?D2222???(6?3x
D2?3y)d?
33. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
图9-2-8
22V?6??d??3??xd??3??yd?DDD
而 ??d??2?
D由x,y的对称性有
22??xd????yd?DD
222?x2??xd???xdxD?22222?dy?2?x2?xdx22?22?x2??22
22?4?x02?xdx?4?4sin?cos?0
?16?(2?1)!!(2?1)!!?1?1???16??(2?2)!!24?22??
所求立体的体积为
V?12??6??6?
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二、利用极坐标计算二重积分 1. 变换公式
按照二重积分的定义有
n??f(x,y)d??lim?f(?i,?i)??iD??0i?1
图9-2-9
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点0为中心的一族同心圆r?常数 以及从极点出发的一族射线??常数,将D剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域??i的面积可如下计算
122??i?(ri??ri)??i?12ri??i?212(2ri??ri)?ri??i
?ri?(ri??ri)2?ri??i?ri?ri??i
其中,ri表示相邻两圆弧半径的平均值。
在小区域??i上取点?ri,?i?,设该点直角坐标为??i,?i?,据直角坐标与极坐标的关系有
?i?ricos?i于是
,?i?risin?i
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nni??0i?1lim?f(?i,?i)???lim?f(ricos?i,risin?i)?ri?ri??i??0i?1
即
??f(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd?DD
D由于??f?x.y?d?也常记作??f?x.y?dxdy, 因此,上述变换公式也可以
D写成更富有启发性的形式
??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd?就是极坐标中的面积元素。 (1)式的记忆方法:
??f(x,y)dxdyDx?rcos?y?rsin?dxdy?rdrd???f(rcos?,rsin?)rdrd?D
2. 极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 (1) 积分区域D可表示成下述形式
??????1(?)?r??2(?)
其中函数?1???,?2???在??,??上连续。
图9-2-10