高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学
案北师大版选修1_1
平均变化率 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：
x(min) y(℃) 0 39 10 38.7 20 38.5 30 38 40 37.6 50 37.3 60 36.8 问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．
问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零． 平均变化率
(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
瞬时变化率 1 / 9
王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”
问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．
问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？
提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．
问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？ 提示：有可能． 瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．
2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．
求平均变化率
[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代
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入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x30
＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：
Δy
＝3x＋3x0ΔΔx
x＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝. [一点通]
求平均变化率的步骤是：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0； (3)求平均变化率＝.
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( ) A．Δx＞0 B．Δx＜0 C．Δx≠0 答案：C
2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A．0.41 C．4 解析：＝＝4.1. 答案：D
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D．Δx＝0
B．3 D．4.1
3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率． 解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx－2(Δx)2， ∴＝－8－2Δx.
即平均变化率为－8－2Δx.
求瞬时变化率 [例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．
[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
[一点通]
求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．
4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A．1米/秒 C．2米/秒
B．－1米/秒 D．－2米/秒
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解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒． 答案：B
5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
当Δx趋于0时，趋于2.
所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.
1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．
3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率． 1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A．Δx＋ B．Δx－－2 C．Δx＋2
D．2＋Δx－Δx
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解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝Δx＋2. 答案：C
2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δt
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