第二章 质点动力学
2－1一物体从一倾角为30?的斜面底部以初速v0=10m·s?1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s?1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30?
物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得
121mv?mv02??f?2s22物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得
(1)
10?mv02??f?s?mgh??f?s?mgssin30?2
?s?把式（2）代入式（1）得，
2v0g(3u?1)(2)
u?
2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得
3?v?v22v2?v020??0.198???dvFt??mgsin??mdt??v2Fn?T?mgcos??m2R由v?(1)
A rD o B T ? C (2)dsrd?rd??,得dt?,代入式（），1 dtdtv习题2－2图
并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有，
?v00vdv???(?rgsin?)d?90?得v?2grcos?则小球在点C的角速度为vr?＝?2gcos?/rmv2由式（2）得 T??mgcos??3mgcos?r由此可得小球对园轨道得作用力为?T'??T??3mgcos?,方向与en反向
2－3如本题图，一倾角为? 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两
者间摩擦系数为?，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。
解：如图所示
a1?asin?,a2?acos??N?mgcos??ma1?masin?mgsin??uN?m?a2macos?(1)?2?a m
(1)?u?(2)得，g(sin??ucos?)?a(cos??usin?)g(sin??ucos?)g(tg??u)?amin?? (cos??usin?)1?utg?(2)?(1)?u得，g(sin??ucos?)?a(cos??usin?)g(sin??ucos?)g(tg??u)?amax??(cos??usin?)1?utg?g(tg??u)g(tg??u)??a?1?utg?1?utg?θ 习题2-3图
2－4如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得
mg?TA?maATB?mg?maB2aA?aBTA?2TB1解得aA＝－g52aB＝－g5(1)(2)(3)(4)
aA
TA A TB B mg aB
mg 习题2-4图
2－5如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2
运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）
解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，
mAg?FT?mAaF'T1?Ff?mBa'2a?a'FT'?2FT1mA?mB?mFT＝FT'F'T1?FT1解得Ff?(1)(2)(3)(4)?5??6??7?
习题2－5图
mg?(m?4m)a?7.2N22－6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M的加速度和m相对M的加
速度。
?，则 解：（如图）m相对M的相对加速度为am??am?cos?,amy??am?sin?, amx在水平方向，
??amx?aMxamx
??aMx??am?cos??aM?amx?amx在竖直方向
习题2-6图
??amyamy?sin??amy?am
由牛顿定律可得，
?cos??maM?Nsin??mamx??mam?sin?mg?Ncos??mamy?mamNsin??MaM
解得aM?mgsin?cos?(M?m)gsin?a＝， m22M?msin?M?msin?2－7在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度ω在
水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，
Fsin??man?mR?2sin?Fcos??mgcos??(R?h)/R解得钢球距碗底的高度
h?R?g?2
2－8光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。
解：（1）设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，
v2FN?man?m2RFf??mat??mFf?uFNv2dv由上三式可得u2＝?Rdt对（4）式积分得?dt＝－0t(1)dvdt(2)(3)（4）Rvdvu?v0v2
?v?Rv0
R?v0?t?Rv0可得物体所经历的时间
R?v0?t（2） 当物体速率从v0减少到v0/2时，由上式?vt??经过的路程
R v0?s??vdt＝?0t?t?0Rv0Rdt＝ln2
R?v0?t?2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，
设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。 （1）试证明物体的速度为
?tmg?mtv?(e?1)?v0em
kkk(2)证明物体将达到的最大高度为
mv0m2gkvH??ln(1?0)
kkmg(3)证明到达最大高度的时间为
tH?证明：由牛顿定律可得
kvmln(1?0) kmgdv(1)-mg-kv=m，dt?t0dt???mdvv0mg?kvvmt?tmmg?kv0mg?m?t?ln，v?(ek?1)?v0ekkmg?kvkdvmvdv(2)-mg-kv=mv，dx??dxmg?kvy
v
令mg?kv?u,du?kdvxkmgkmgdumgdudx??mdu?，?dx??(?mdu?)0mg?kv0mumumv0m2gkv?x??ln(1?0）kkmgmmg?kv0（3）?t?lnkmg?kvmmg?kv0?当v?0时，t＝ln即为到达最高点的时间kmg?k
22f＝－kv
?mg
2－10质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳
水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b
为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）
解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为
v0?2gh，入水后如图由牛顿定律的
mg-f-F=mamg=Ff=bv2dvdva=?vdtdy??bv2?mvdvdyyvdvb?dy??0m?v0vv?v0e?by/m?2ghe?by/m(2)将已知条件y＝－b?0.4m?1,v?0.1v0代入上式得，m
mvln＝5.76mbv02－11一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。
解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），
(1)-mg-kmv2=m?y0dy???vv0dvmvdv＝，dtdyvdvg?kv21g?kv2?y??ln()22kg?kv0?物体达到最高点时，v＝0，故g?kv021h=ymax＝ln()2kg(2)下落过程中，-mg+kmv2=mdvmvdv＝dtdy?0hdy???v0vdvg－kv2
2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承
kv20－1/2?v=v（）01?g