Step time=0.9994
Step time=0.9998
图6 裂纹扩展过程
Step time=1
从上述的裂纹扩展过程的应力分布图，我们可以得到如下几点结论，证明我们的数值模拟具有一定的正确性。首先，在裂纹尖端出现了应力集中，这是和断裂力学理论符合的。其次，观察裂纹附近的应力分布，我们可以看到应力分布的趋势是与理论计算的塑性区的形状大致相同的，理论计算的塑性区形状如图7所示。
图7 理论上的塑形区形状图
3.3 裂尖单元应力变化
其次，考察裂尖单元的应力随载荷增加的变化。实际上裂尖单元应力值的具体大小并没有意义，因为表征断裂韧强度的是应力强度因子和J积分。而单元应力随载荷增加导致的变化可以帮助我们理解裂尖单元在起裂到完全断裂的整个过程。
观察图8，我们可以大致得到这个裂尖单元参与断裂过程的整个历史。首先，在应力加载的早些时候，裂尖单元的应力随着载荷的增加而增加，此时裂尖单元的应力并没有达到损伤判据的临界应力，所以单元没有起裂。随着载荷的继续增加，应力值继续增加，当到大概0.7976左右时，裂尖的最大主应力达到了最大主应力损伤判据的临界值，于是裂纹起裂，直至完全裂开，单元的应力奇异性消失，裂尖单元转变为一个普通的非裂尖单元。这个过程对应于图8中的右边应力增大后有急剧减小的曲线。之后，由于载荷还没有完全加载完毕，所以裂尖单元在转变为普通单元之后随着载荷的继续增加，其单元应力又会随之在增加。
以上就是一个裂尖单元在整个加载过程中的单元应力历史变化的三个阶段。
140120 裂尖单元应力100最大主应力/MPa8060402000.00.20.40.60.81.0Step time
图8 裂纹尖端单元应力历史曲线
3.4 裂纹扩展分析
如图9所示，载荷从零开始不断加载。随着载荷的增加，裂尖处的单元应力也不断增加。当裂尖处的最大主应力值达到临界值时，裂尖处的单元开始失效，裂纹开始穿过单元扩展，时间步大概是0.7976左右，此时裂尖处开始形成粘结裂纹(cohesive crack)。从0-0.7976这个过程可以认为是裂纹孕育期。之后随着裂尖处的能量释放率达到裂纹扩展阻力率GC时，裂尖处的粘结裂纹开始扩展成真实
裂纹，裂尖单元的XFEM值达到1。裂尖处的单元损伤值达到临界值，时间步大概是0.9996左右。此时认为这一结构开始失效，裂纹失去平衡，开始失稳扩展，真实裂纹开始形成并不断扩展。从0.7976-0.9996这个过程可以认为是裂纹的萌生过程。0.9996以后裂纹失稳扩展，结构失效。从图中可以看出初始裂纹长度为12个单元距离，到最终加载结束时，真实裂纹长度为15个单元长度，粘结裂纹长度为7个单元长度。
图9 随加载历史扩展的动态裂纹图
3.5 裂纹扩展的能量历史曲线
绘出整个模型的总能量，动能，内能和外力功随计算过程的历史曲线如图10所示。由图可以看出，总能量和动能在整个过程中并没有发生显著的增加，可以表明整个计算过程基本是稳定的。而伪应变能在计算过程中有稍微的增长。
9x108x107x106x104444能量/Nm-15x104x103x102x101x104 内能 外力功 总能量 动能 0.00.20.40.60.81.044440-1x104Step time
图10 裂纹扩展的能量历史曲线
4 结论
本文的工作是基于abaqus6.9版本的扩展有限元功能计算了Ⅰ型裂纹的扩展。得到如下几点结论。
首先，本文计算了Ⅰ型裂纹的应力强度因子，结构表明计算值与理论值的误差在5%以内，结果可靠有效。同时计算了裂纹的J积分值，获得了J积分的历史曲线，有限元结果与理论结果吻合。
裂纹的扩展过程与理论是吻合的，整个裂纹扩展的计算没有出现不稳定的情况。裂尖出现了应力的奇异性，裂纹扩展平稳。并通过研究裂尖单元的应力历史曲线，直观的获得了裂纹在一个单元上扩展的三个典型阶段。
其次，对裂纹扩展的过程进行了分析，指出了裂纹扩展的大概几个阶段以及具体的裂纹扩展过程。
最后，对裂纹扩展过程中的能量变化作了简单描述，说明了计算过程的稳定性，并验证了系统的能量守恒关系。