类等差（比）数列性质及其应用
范广法（浙江省桐乡第二中学314511）sdhzmdq@163.com
一 类等差数列性质及其应用
若?an?从第二项起，每一项与它的前一项的差小于（或大于）同一个常数d，则?an?叫做类等差数列，d叫类等差数列的公差. 设Sn?a1?a2???an，则类等差数列?an?具有性质：若an?1?an?d，则an≤a1?(n?1)d，Sn≤na1?n(n?1)d；若an?1?an?d，则2an≥a1?(n?1)d，Sn≤na1?n(n?1)d.此性质常用于一些不等式的证明，而此类不等式多以2压轴题的形式出现，是高考中的难点，既考查基础知识又考查能力，对考生有很好的甄别与选拔功能.下面来探讨其应用.
例1（2014年广西高考理科第22题）函数f(x)?ln(x?1)?（Ⅱ）设a1?1，an?1?ln(an?1)，证明:
ax(a?1)． x?a23?an≤． n?2n?223≤an≤（笔者注：本文证明更强的结论：） n?1n?2简析：考虑到不等式
23n?21n?1≤an≤等价于，此式两边都是等差数≤≤n?1n?23an211?1≤??a?n?1an2列的通项．根据类等差数列的性质，仅需证不等式组?成立，又an?0（可证）
?1+1≤1??3anan?12an2an??a≥ln(a?1)≥n?n?12?a?2?an??n与an?1?ln(an?1)，即需证?即?成立，所以首先要研究当
3a3ann?a≤?ln(a?1)≤n?1n?3?an?3?an??a?2，a?3时f(x)的单调性并找到f(an)的正负（即f(an)与f(0)的大小）．
简解：用数学归纳法易证0?an?3，不赘．
当a?2时，f(x)在(0,3)上递增，f(x)?f(0)?0即ln(x?1)?而ln(an?1)?2x(0?x?3)，从2?x2an2an111????，?1?是类等差数列，公差为为1，，an?1?，
22?an2?anan?1an2?an? 1
1≤1(n?1)?1即2≤a①．
nan2n?1当a?3时，f(x)在(0,3)上递减，f(x)?f(0)?0即ln(x?1)?而ln(an?1)?3x(0?x?3)，从3?x3an3an111??，an?1?，??，?1?是类等差数列，公差为为1，
33?an3?anan?1an3?an?1≤1(n?1)?1即a≤3②，从而2≤a≤3．
nnan3n?2n?1n?2点评：由
n?21n?1??看出?1?与类等差数列有关，是解题的关键． ≤≤3an2?an?111????．对任意正整数n，试证明：k1k2kn例2（2014年宁波二模理科第22题）在函数y?lnx的图像上取点Pn(n,lnn) (n?N?)，记线段PnPn+1的斜率为kn ，记Sn?n(3n?5)n(n?2)． ?Sn?62n(3n?5)n(n?2)简析：考虑到、分别是等差数列n?1与n?1的前n项和，根据类
3262????等差数列的性质，仅需证n?213111?ln(1?)?，亦即证明??n?成立，即证
2n?1n3n?13kn22x3x?ln(1?x)?在x?(0,1]上成立，此不等式用导数不难证明，不赘． 2?x3?x点评：由n?111????n?看出?1?与类等差数列有关． 3kn2?kn?二 类等比数列性质及其应用
类似地，若?an?从第二项起，每一项与它的前一项的比都小于（或大于）同一个非零常数
q，则?an?叫做类等比数列，q叫类等比数列的公比.类等比数列?an?具有以下性质：若an?0且q?0,则当n≥2时，性质的应用.
例3（2014年全国新课程卷Ⅱ理科第17题）已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：1?1?…+1?3.
an?1a?q?an?a1qn?1，n?1?q?an?a1qn?1.下面探讨类等比数列anana1a2an2简析：当n=1时，所证不等式成立；当n≥2时，易知an?0，an?1?3an，1?1?1，
an?13an 2
1)n?11?(??3?3. 所以?1?是以1为公比的类等比数列， 1?(1)n?1，1?1?…+1?a1a2an23an3?an?1?13??点评：舍弃递推式an?1?3an?1中的尾巴“1”，比较容易发现?1?是类等比数列.
?an?例4（2012年广东高考理科第19题）设数列?an?的前n项和为Sn，满足
2Sn?an?1?2n?1?1，n?N*，且a1，a2?5，a3成等差数列．
（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n，有1?1?…+1?3.
a1a2an2简析：（Ⅲ）当n=1时，a1?1，所证不等式成立；当n≥2时，2Sn?an?1?2n?1?1，两式相减得an?1?3an?2n．再由前问知a1?1,a2?5知，对一切正整数n2Sn?1?an?2n?1，
都有an?1?3an?2n,an?0成立.从而
1111?1?1，所以????a?是以3为公比的类nan?13an?23an?n?1?(1)n?13?3. 等比数列，1?(1)n?1，从而1?1?…+1?a1a2an2an31?13??n点评：同样，舍弃递推式an?1?3an?2n中的尾巴“2”，容易发现?1?是类等比数列.
?an?例5（2013年华约自主招生压轴题）已知f(x)?(1?x)ex?1. （Ⅰ）求证：当x?0时，f(x)?0； （Ⅱ）数列{xn}满足xnexn?1?exn?1，x1?1，求证：{xn}递减且xn?1. 2nx简析：（Ⅱ）可用数学归纳法证明xn?0.先证{xn}递减：由上问知f(xn)?(1?xn)en?1?0即en?1?xnen，又xnexxxn?1xx从而xnen?1?xnen，xn?1?xn即{xn}递减.再证xn??exn?1，
1：2n当n=1时所证结论成立；当n≥2时，要证xn?即证xn?111，只要证是以为公比的类等比数列，{x}nn22xnxnxx1exn?e0xn?1?．考虑到e??，?e2，所以xn?1?n，从而xn?xn?1?1222n2nxn?0 3
xn?xn?1?1． 2na?b1eb?ea1?e2点评：由“xn?n，x1?1”可断定{xn}是以为公比的类等比数列；由
22b?anexn?e02（2013年陕西高考压轴题中的结论）推出了?e.
xn?0x若将类等差数列与类等比数列有机地结合起来，会编制一些数学味道很浓的压轴题（尽管其可不用上述性质解答），如：
（2002年全国高考理科第22题）设数列?a?a2n?满足an?1n?nan?1，n?1,2,3,?.（Ⅱ）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有 （ⅰ）an≥n?2；（ⅱ）
1?1a+1+?+1≤12.
11?a21?an（模拟题）设数列?bb2n?满足：bn≥1，bn?1?n?(n?2)bn?3，n?1,2,3,?.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：bn≥n； （Ⅱ）设Tn?1113?b????，求证：T1n?.13?b23?bn2 4