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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案
一、单项选择题
1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?A.y?1 B.y?arctanx 1?x2C.y?sinx?cosx D.y?xsinx
解: 排除法：A
??x B.y?x2 Barctanx?2xx1有界，??21?x2x2?2有界，C sinx?cosx?2
C.y?elnx D.y?lnex
故选D
xn存在的（ ） 解：且定义域???,???， 5 ．数列 ? x n ? 有界是 lim?y?lnex?xlne?x，n??∴选D
2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）
A 必要条件 B 充分条件
C 充分必要条件 D 无关条件
解：??xn?收敛时，数列xn有界（即xn?M），反之不成立，（如
1A.y???x? B.y?2??x?
21C.y???2x? D.y?2 ??2x?21解:令y?f?2x?,反解出x：x???y?,互换
21x，y位置得反函数y???x?，选A
2???1??有界，但不收敛，
n?12 选A 6．当n??时，sin11与k为等价无穷小，则nnk= （ ）
1 A B 1 C 2 D -2
2113．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇sin22nn?lim?1，k?2 选C 解：?limn??n??11函数的是（ ）
nknkA.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? 二、填空题（每小题4分，共24分）
C.y?x3f?x2?
7．设f?x??1f?x??，则f???的定义域为
1?xD.y?f??x??f?x?
32解：?y?xfx??的定义域???,???且
解： ∵f??f?x????1?fx???1111?1?x
y??x????x?f?x2???x3f?x2???y?x?∴x??13?选C
4．下列函数在???,???内无界的是（ ）
1?x 2?x∴f??f?x???定义域为
1
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(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)
8．设f(x?2)?x2?1, 则f(x?1)?
解：（1）令x?2?t,f?t??t?4t?5
23n2?526?= =limn??5n?3n5三、计算题（每小题8分，共64分）
arcsin13．求函数y?2x?17的定义域 x?1f?x??x2?4x?5
（2）f?x?1??(x?1)?4(x?1)?5?x?6x?10
22??1?2x?1?1??3?x?4 7解：???x?1或x??1x?1?0???9．函数y?log4x?log42的反函数是
2y?1解：（1）y?log4(2x)，反解出x：x?4（2）互换x,y位置，得反函数y?42x?1 10．limnn??
∴函数的定义域为??3,?1)?1,4? 14．设f?sin??n?1?n?2? lim3nn?1?n?2?32???x???1?cosx 求f?x? 2?解：原式
有理化n?? 解 ： ??2cos? sin?f??x?2?22x?2?1?sin2x?
?2?2???5?11．若lim?1??n???n??kn?e,
?10?f1????2?????
?则k?
lim5(?kn)解：左式=en??n2 故f?x??21?x
???e?5k?e?10 故k?2
15．设f?x??lnx，g?x?的反函数
3n2?52sin= 12．limn??5n?3ng?1?x??2?x?1?，求f?g?x?? x?1解: （1） 求g(x):?y?2x?2 ∴反解出
x?1 解：?当n??时，sin2n～
2n ∴原式
y?2互换x,y位置得g(x)?x?2
x?2 (2)f?g?x???lng?x??lnx?2
??x?22
x：xy?y?2x?2x?y?2
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16．判别f?x??lnx?1?x2的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称
??故g(x)?x x2?1n318．设lim??n?2a???8，求a的值。 n??n?a??3a??n?2a???lim1????n??n???n?a??n?a?3nn3?f??x??ln??x??ln1?x2
?11?x2 ?x解： ?lim?
?lnx?1?x2???1??ln(x?1?x2)
?enan??n?alim?ea,?ea?8
n故a?ln8?3ln2
??f?x?
?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数
解法（2）：?f?x??f??x?
?1?1119．求lim? ??????n???1?22?3n?n?1???解：（1）拆项，
1k?1?k?
k(k?1)(k?1)k?ln(x?1?x2)?ln?x?1?x2
?ln?(x?1?x2)?????11?k?1,2,?,n kk?1?1?x2?x??ln1?0
????f??x???f?x? 故f?x?为奇函数
111 ????1?22?3n?n?1?1??1??11??1??1??????????? 17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，且?2??23??nn?1?1，求f?x?及g?x? x?11???? 解： 已知f(x)?g(x)?x?11?f(?x)?g(?x)?即有
?x?1?1f(x)?g(x)???2?
x?111? ??????2?得2f?x??x?1x?11故 f(x)?2
x?111?????2?得2g?x??x?1?x?1 f?x??g?x??
?1?1 n?1n?nlim1??（2）原式=lim?1??en??n?1?e?1 ?n???n?1?20．设f?x??a求limx?a?0,a?1?,
1ln??f?1??f?2??f?n??? n??n2解： 原式=lim1ln?a1?a2?an? 2n??n3
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1?lim2?lna?2lna???nlna? n??n1?2???n?lna?lim
n??n2?lna?lim(n?1)n
n??n2?2把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。 解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=?rh
132?h?R2?r2,2?r?R? R2??R2??2 ?r?h?R?224?4?2?1lna?a?0,a?1? 2x1?x2四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=，求f3?x?=
4?2????R2??故V? ?R234?2?ff??f?x???并讨论f3?x?的奇偶性与有界性。 （2）函数的定义域
解：（1）求f3?x?
?f?x??x1?x2?f2?x??f?x?1?f2?x??x1?2x2???R3??2??4??? 324?2?4?2??2?0,?2??2?? ??0??????
R3??2?4???故V??0?????? 224?五、证明题（每小题9分，共18分）
23．设f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。 证：(1) f?x??f3?x??f??f2?x????f2?x?1?f22?x??x1?3x2 （2）讨论f3?x?的奇偶性
?f3??x???x1?3x2??f3?x?
f?x??f??x?2?f?x??f??x?2
?f3?x?为奇函数
（3）讨论f3?x?的有界性
(2)令g?x??f?x??f??x?????x????
21 ?f3?x??f3?x????23x31?3x有界
22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，
xx?g??x??f??x??f?x?2?g?x?
?g?x?为偶函数
4
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f?x??f??x?(3)令??x??????x????
2f??x??f?x?????x??????x?
2＊选做题
1已知12?22???n2?n(n?1)(n2?61)，求
?1222n2?lim?3?3???3? n??n?1n?2n?n??12?22???n2解: ? 3n?n???x?为奇函数
（4）综上所述：f?x??g?x?偶函数+??x?奇函数
24 设f?x?满足函数方程2f?x?+f?=
?1?? ?x?12n212?22???n2?3???3?n?1n?nn3?112?22???n2且lim 3n??n?n?limn?n?1?(2n?1)6?n3?n??1 3
1，证明f?x?为奇函数。 x?1?1证：（1）?2f?x??f??????1?
?x?xn??12?22???n2n(n?1)(2n?1)1?lim? lim33n??n??1?1?6(n?1)3n?1令?t,2f???f?t??t ?函数与自变量的
x?t?1∴由夹逼定理知，原式?
记号无关 32 若对于任意的x,y，函数满足：
1???2f???f?x??x???2?
证明f?y?为奇函数。 f?x?y??f?x??f?y?，?x?1?，求出（2）消去f?f?x? ???x?解 (1)求f?0?：令
?2??2??1?:f?x??4f?x??x?x2?22?x2?3f?x??,f?x??
x3x2xx ? 0, y ?0,f?0??2f?0??f?0??0
(2)令x??y:f?0??f??y??f?y??f??y???f?y?
（3）?f?x?的定义域???,0???0,??? 又?f??x???f?y?为奇函数
第二讲：函数的极限与洛必达法
2?x??f?x? ?3x2则的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ）
5
?f?x?为奇函数