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sinxx?sinx?1 B． lim不存在
x??x??x?sinxx1?C． limxsin?1 D． limarctanx?
x??x??x2A． lim4．若limx?0f?2x??2， x1?tx1sintlim解：?limxsin ?选C
x??t?0xt则limx?0x? （ ）
f?3x?11 C．2 D． 32A．3 B．
sinxsinxx?1?0?1 ?0;Blim注：Alimx??xx??sinx1?01?x1?2． 下列极限正确的是（ ）
2tx3x?2tlim3 解：limx?0f?3x?t?0f?2t??21211lim??? 3t?0f?2t?323te?0 B． lim?e?0 A． lim?x?0x?01x1xC． lim(1?cosx)x?0secx?e
?选B
?1?xsinx(x?0)??0(x?0)5．设f?x???且limf?x?存
x?01?xsin?a(x?0)?x??1xD． lim(?x??1x)?e
??e?e解：?lim?x?01x?1?0 ?选A ?e注：B:??,C:2,D:1
3． 若limf?x???，limg?x???，则下列在，则a= （ ）
x?x0x?x0A．-1 B．0 C．1 D．2
sinx正确的是 （ ）
?1, 解：?lim?x?0xA． lim??f?x??g?x?????
x?x0B． lim?f?x??g?x????? x?x0???1??limxsin??a??o?a ??x?0??x????a?1 选C
?6．当x?0时，f?x??1?x?1是比x高阶
a1?0C． lim
x?x0f?x??g?x?D． limkf?x????k?0?
x?x0?limkf?x??klimf?x??k??解：
x?x0x?x0k?0无穷小，则 （ ）
A．a?1 B．a?0 C．a为任意实数 D．a?1
? ?选D
6
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a1解：lim1?x?1x?0?x?lim2xaa?1x?0?x0?a?1 故选A
二 、填空题（每小题4分，共24分）
x7．lim?x???x??1?x??? x解：原式
1?lim?x????1?1?x?1???exlim?x??1?x?e?1 8．lim?2?x?1?1?x?1?x2?1??? 解：原式
?????limx?1?2x?1?x?1??x?1? ?lim11x?1x?1?2
9．lim?2x?1?3?3x?2?97x???3x?1?100?
????解：原式
????397lim?x???2x?1??3x?1???lim?3x?2?x????3x?1?? ???2?3?3???827 ．已知limx210?ax?6x?11?x存在，
则a= 解：?limx?1?1?x??0
?limx?1?x2?ax?6??0
1?a?6?0,a??7
11．lim?1x?0???exsin1arcsinx?x2?x??? 11解：?sin1xlimx?0?ex?0?limx?0exsin12?1,x2?0又?limarcsinxx?0x?limxx?0x?1 故 原式=1
12．若limx2ln?1?x2?x?0sinnx?0
且limsinnxx?01?cosx?0,则正整数n= 解：?limx2ln?1?x2?x?0?limx2?x2sinnxx?0xn n?40,limxnn?2x?0x20?n?2,n?4, 故2n?3
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求limsin3x?2xx??sin2x?3x
sin3x解： 原式=limx?2x??sin2x x?3?limsin3xx??x?0???sin3x?1,lim1?x??x?0??
limsin2xx??x?0???sin2x?1,lim1x??x?0???
?原式?0?20?3??23 14．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?
7
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解：原式
有理化
limtanx?sinxx?0x(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) ?limtanx(1?cosx)x?0x(1?cosx)?12 ?limtanx11x1x??x?2?2limx?0x?2
15．求lim?x????sin2xx?cos1?x??
解：令
1x?t，当x??时，t?0 ?1原式?limcost?sin2t?tt?0 1?limt?0?1?cost?1?sin2t?t
???cost?1?sin2telimt?0t?e2
16．求limlncos2xx?0lncos3x
解：原式
变形limln?1?cos2x?1?x?0ln?1?cos3x?1?
等价limcos2x?1x?0cos3x?1
?1等价22lim2?x?x?0?4 ?12?3x?29????注:原式
????lim?2sin2xcos3x?0cos2x?x?3sin3x
????49 17．求limex?e?x?2xx?0x?sinx
0 解： 原式
0limex?e?x?2x?01?cosx 000ex?e?xlim0ex?e?xx?0sinxlimx?0cosx?2 ??1f?x????ex?a,x?018．设?且lim?1?cosxx?0f?x?存在，
??x,x?0求a的值。
解：??xlim?0??e?1x?a???e???a?0?a?a
??x2lim1?cosxx?lim2x?0?x?0?x1?lim2??x?x?0?x??22 ?a??22 119．1?3lnxxlim?0??sin3x?
解： 原式
?00?换底法lim3cosxln(sin3x)x?0?sin3xelim3x?0?1?3lnx?ex
8
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?ex?0?3sinxlim3x?ex?0?3xlimx?e
13x3（3）x?sinx等价于?x?0?
620．求lim?x?x2ln?1?x??????1???? x??解： 原式
1?txx3（4）arcsinx?x等价于?x?0?
6证：?1??limx?0?1ln?1?t??lim??? 2t?0tt??
通分limt?0t?ln?1?t?t2tanx?sinx
x32?0????0??0????0?11?lim1?t t?02tlimx?0tanx?1?cosx?x32
?limt?01?t?111?lim?
2t?t?1?t?0t?12四、证明题（共18分） 21．当x??时且
x2x??lim32?1 x?0x2limu?x??0,limv?x???,
x??x??x3当x?0时，tanx?sinx?
2
证明lim??1?u?x???x??v?x??e
x??limu?x?v?x?证：lim??1?u?x???x??v?x?tanx?xsec2x?1?lim ?2??limx?0x?013x2x3?lim??1?u?x???x??1?u?x??v?x?u?x?
x2证毕 当x?0时，tanx?x?
322．当x?0时，证明以下四个差函数的等价无
穷小。
?ex??limu?x??v?x?tan2xx2?lim2?lim2?1 x?0x?0xx
x3（1）tanx?sinx等价于?x?0?
2x3（2）tanx?x等价于?x?0?
3
9
?3??limx?0x?sinx1?cosx ?limx?01312xx62专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印
12x?lim2?1 x?012x2当x?0时，x?sinx?2lim?x???2?n?x?2n???0 x?2?lim?x2?mx?8??0,4?2m?8?0
x?213x 62m?12,m?6
arcsinx?x ?4??limx?013x6x2?6x?8（2）?lim2
x?2x?2?nx?2n???0????0?121?x?limx?012x2?11?1?x2?lim x?0122x1?x2lim2x?64?6 ?x?22x??2?n?4??2?n???21? 2?n512x?lim2?1 x?012x?12当x?0时，arcsinx?x等价于??10?2?n n?12 答m?6,n?12
选做题
113x 61?x1?x??求
lim?x?0?e???x? ???1x1x五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求lim3x?9x2?12x?1
x????解：原式1???1?x??e??? lim1?x?0??e????1?x???1?x??lim?x?0e解： 原式
有理化limx??9x2??9x2?2x?1?3x?9x?2x?1 2
?limx???2x?13x?9x?2x?12?ex?0lim?1?x?x?ex?e1??????e1x
令y??1?x??e1x1ln?1?x?x1?2??21x?lim???
x??3213?33?9??2xxy???1?x?11x?ln?1?x?1?x 2xx2?1?x?
??1?x?xx??1?x?ln?1?x?x??1?x?ln?1?x?x2?1?x?12x2?mx?8124． 已知lim2?，求常数
x?2x??2?n?x?2n5m,n的值。
解：（1）∵原极限存在且
原式?elimx?0lim?ex?0lim0?ln?1?x?2x?3x2
?x2?ex?02x?3x?e
10
?