广东省2012届高三全真模拟卷数学理科15
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．若将复数 A．0
1?i表示为a + bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a + b= 1?i
B．1
C．－1
D．2
2．已知p：x?1?4，q：x2?5x?6，则p是q成立的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知?an?是等差数列，a4?15，S5?55，则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率 A．4
xB．
1 4C．－4 D．－14
4．已知f?x??a?b的图象如图所示，则f?3?? A．22?2 B．3?3 9
C．33?3 D．33?3或?33?3
5．已知直线、m,平面?、?，则下列命题中假命题是
A．若?//?，l??,则l//? B．若?//?，l??,则l?? C．若l//?，m??,则l//m
D．若???，????l,m??,m?l,则m??
6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
Ａ．36种 B．12种 C．18种 D．48种
??????7．设向量a与b的夹角为?，定义a与b的“向量积”：a?b是一个向量，它的模????????a?b?a?b?sin?，若a??3,?1,b?1,3，则a?b?
????A．3 B．2
2C． 23
D．4
8．已知函数：f(x)?x?bx?c，其中：0?b?4,0?c?4，记函数f(x)满足条件：
?f(2)?12为事件为A，则事件A发生的概率为 ?f(?2)?4?用心 爱心 专心 - 1 -
A．
1531 B． C． D． 4882二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，
满分30分．
9．(1?x2)(1?x)5展开式中x的系数为_________．
3
10．两曲线x?y?0,y?x2?2x所围成的图形的面积是_________．
x2y211．以点A(0,5)为圆心、双曲线 ??1的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．
169?2x(x?0),则f(?8)=_________． 12．已知函数f(x)???f(x?3)(x?0)13．已知2?2?22,3?3?33,4?4?43388154，?若156?aa，（a,t均为?4tt正实数），则类比以上等式，可推测a,t的值，a?t? ． ▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线l1:?为参数）垂直，则k? ．
15．(几何证明选讲选做题）点A,B,C是圆O上的点， 且AB?4,?ACB?45，则圆O的面积等于_____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
0?x?1?2t,?x?s,（s(t为参数)与直线l2:?y?2?kt.y?1?2s.????16．（本小题满分12分）已知向量a?(2cosx,3)，b?(1,sin2x)，函数f(x)?a?b，
??2??g(x)?b．
（Ⅰ）求函数g(x)的最小正周期；
（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且f(C)?3，c?1，ab?23，且
??2a?b，求a,b的值．
17．（本小题满分12分）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为?490,495?，?495,500?，?，?510,515?，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
用心 爱心 专心
- 2 -
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.
(1) 求证：AO?平面BCD；
(2) 求异面直线AB与CD所成角余弦的大小； (3) 求点E到平面ACD的距离． 19．（本小题满分14分）
y2已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C
b2三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．(1) 若椭圆的离心率e?（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程． 20．（本小题满分14分）
3，求?P的方程； 2??2已知向量a?(x?3,1),b?(x,?y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|?2时，有
????a?b，当|x|?2时，a//b．
(1) 求函数式y?f(x)；（2）求函数f(x)的单调递减区间；
（3）若对?x?(??,?2]?[2,??)，都有mx2?x?3m?0，求实数m的取值范围． 21．（本小题满分14分）
2设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn?an?n，an?0（n∈N*）.
（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{an}的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）设x?0，y?0，且x?y?1， 证明：anx?1?any?1≤2(n?2).
参考答案
用心 爱心 专心
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一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．
1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 1.选B.提示：
1?i?i,?a?0,b?1. 1?ip:??5,3?,q:?2,3?.
2.选A.提示：
3.选A.提示：S5?5a3?55,?a3?11,k?4.选C.提示：根据f(2)?0,a4?a3?15?11?4.
4?3f(0)??2,得a?3,b??3.
5.选C.提示：l与m可能异面.
226.选A.提示：A3?A3?36.
7.选B.提示：a?b?2,cos???2331??,sin??. 4221?4?412P??8.选D.提示： .
4?42二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～
15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．
922 11．x?(y?5)?16 12．2 213．41 14．?1 15．8?
9．?15 10．
9.?15.提示：(?C5?C5)x.
399210..提示：面积S??x?(x?2x)dx?.
02231311.x?(y?5)?16.
提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4 12.2提示：f(?8)?f(?5)?f(?2)?f(1)?2. 13.41 .提示：a?6,t?a?1?35. 14.?1.提示：化为普通方程求解.
用心 爱心 专心
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222
15.8?.提示：连接OA，OB,?BOA?90,?r?OA?OB?22.
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程． 16．（本小题满分12分）
0?21?cos4x13解：（Ⅰ）g(x)?b?1?sin22x?1???cos4x? ????2分
2222??∴函数g(x)的最小周期T?? ?????4分
42??（Ⅱ）f(x)?a?b?(2cos2x,3)?(1,sin2x)
?2cos2x?3sin2x?cos2x?1?3sin2x
?2sin(2x?)?1 ?????6分
6f(C)?2sin(2C???6)?1?3 ?sin(2C??6)?1 ??????7分
?C是三角形内角， ∴2C?即：C???13????(,)， ∴2C?? 66662?6????8分
b2?a2?c23 ∴cosC? ?2ab2即：a2?b2?7 ???????10分 将ab?23可得：a2?∴a?12?7 解之得：a2?3或4， 2a3或2 所以当a?3时，b?2；
当a?2，b?3，
?a?b ∴a?2，b?3． ????12分
17．（本小题满分12分） 解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为
．???? 4分 [(0.01?0.05)?5]?40?12（件）
（2）Y的可能取值为0，1，2． ???? 5分
211C2863C28C1256P(Y?0)?2??．P(Y?1)?． 2C40130C401302C1211P(Y?2)?2?．???? 8分
C40130用心 爱心 专心 - 5 -