牡一中2015年上学期期末考试高三学年
数学学科理科试题
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）
装1.全集U?R，集合M?{x|x2?2x?3?0},N??y|y?3x2?1?,则M?CUN?(
)
A.{x|?1?x?1} B.{x|?1?x?1} C.{x|1?x?3} D.{x|1?x?3}
2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )
订 3.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是( )
A.计算数列?2n?1?前5项的和 B.计算数列?2n?1?前5项的和
线C.计算数列?2n?1?前6项的和 D.计算数列?2n?1?前6项的和 ?x?y?2?0?的最小值为?2，则k的值为 4.若x,y满足?kx?y?2?0且z?y?x?y?0?A.1 B.?1 C.2 D.?2
5.给出下列四个命题, 其中正确的命题有( )个. ．．
??????上的单调递增区间是0,?; ???2??8?(2)a1,a2,b1,b2均为非零实数，集合A?{x?a1x?b1?0},B?{x?a2x?b2?0}，则ab“1?1”是“A?B”的必要不充分条件 a2b2(3)若p?q为真命题,则p?q也为真命题
⑴ 函数y?sin2x?cos2x在x??0,(4) 命题?x?R,x?x?1?0的否定?x?R,x?x?1?0
22A.0 B.1 C.2 D.3
1
6.设a1,a2...,an是1，2，3...n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai(i?1，2，...n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的
顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )
A.48 B.120 C.144 D.192
???????? 7.在平行四边形ABCD中，AD?2，?BAD?60，E为CD的中点．若AD?BE?1，
?则AB的长为( )
A.6 B.4 C.5 D.6
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，又知(xlnx)'?lnx?1，且S10??lnxdx，
1eS20?17，则S30为( )
A.33 B.46 C.48 D.50
9．已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为
?2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移
?6个单位，得到函数g(x)的图象．若
在区间?0,??上随机取一个数x，则事件“g(x)?1”发生的概率为 A.
1 41B.
31C.
6D.
23
10.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( )
A.? B.2? C.3? D. 4?
x2y211.已知过双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的中心的直线交双曲线于点A,B，在双曲线C
ab上任取与点A,B不重合的点P，记直线PA,PB,AB的斜率分别为k1,k2,k，若k1k2?k恒成立，则离心率e的取值范围为( )
A.1?e?2
B.1?e?2 C.e?2 D.e?2
12.已知函数f(x)?1?lnxk,g(x)?(k?N*)，若对任意的c?1,存在实数a,b满足x?1x0?a?b?c，使得f(c)?f(a)?g(b)，则k的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
2
13.在(x26?)的二项展开式中，x2的系数为___________ 2x14.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使
a1?a2?...?ak?6，则称k为你的幸运数字。则你的幸运数字为3的概率_______
15.如图所示点F是抛物线y2?8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2?8x及圆
?x?2?2?y2?16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则?FAB的周长的取值范
围是________.
16．在下列命题中,正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.
a(x?0)的最小值为2a； x②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x)，则f(x)一定为偶函数；
①函数f(x)?x?③定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则
f(1)?f(4)?f(7)?0
④已知函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)，则a?b?c?0是f(x)有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数f(x)?x?sinx，若a?b?0，则f(a)?f(b)?0.
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
3217．已知f?x??3cos2x?2sin(3??x)sin(??x),x?R (1) 最小正周期及对称轴2方程；(2) 已知锐角?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 f?A???3,a?3,
3
求BC边上的高的最大值.
18.在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB?2，AA1?22，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO?平面ABB1A1.(1)证明：(2)若OC?OA，BC?AB1；求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.
C C1
BB1
O A D
A1
1319．已知数列?an?满足a1?,a2?， 2an?an?1?an?1(n?2,n?N?)，数列?bn?满足：
44b1?0，3bn?bn?1?n(n?2,n?N?)，数列?bn?的前n项和为Sn.(1)求证：数列
?bn?an?为等比数列；(2)求证：数列?bn?为递增数列；(3)若当且仅当n?3时，Sn取
得最小值，求b1的取值范围．
x2y220．已知直线l:y?x?6，圆O:x?y?4，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心
ab22率e?3，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)已2知动直线l1(斜率存在)与椭圆E交于P,Q两个不同点，且△OPQ的面积为1，若N为线段
PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点A,B使得直线NA与NB的斜率之积为定值？
4
若存在，求出A,B的坐标，若不存在，说明理由．
21．已知函数f?x??ln?x?a??x有且只有一个零点，其中a?0. (1)求a的值；(2)2若对任意的x??0,???，有f?x??kx成立，求实数k的最大值；(3)设h?x??f?x??x，对任意x1,x2???1,????x1?x2?，证明：不等式
x1?x2＞x1x2?x1?x2?1恒成立.
h?x1??h?x2?22．选修4?1：几何证明选讲
如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，?ACB的平
分线CD与AB相交于点D与AE相交于点F. (Ⅰ)求?ADF的值；（Ⅱ）若AB?AC,求
AC的值. BC
ADBFOEC23．选修4?4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
??x???2为?sin(??)?．圆O的参数方程为??42?y????2?rcos?2，(?为参数，r?0).（Ⅰ）2?rsin?2求圆心的一个极坐标；
（Ⅱ）当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．
5