湖南省长沙市一中高三第四次月考理科数学
湖南省长沙市一中高三第四次月考理科数学
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。） 1．若loga2 0,2b 1，则
A．0 a 1,b 0 B．a 1,b 0 C．a 1,b 0 D．0 a 1,b 0 2．如图，已知U是全集，A,B,C是U的非空子集，则阴影部分所表示的集合是
A．(A B) C B．(A B) C C．(A B) CUC D．(A B) CUC 3．sin15cos75 cos15sin105等于
A．0 B．
1 C． D．1 22
4．函数f(x) ax b 2在 0, 上为增函数的充要条件是
A．a 1且b 0 B．a 0且b 0 C．a 0且b 0 D．a 0且b 0 5．给出下列命题：①若a b,则其中真命题的个数有
A．3 B．2 C．1 D．0
6．如果f (x)是二次函数，且f (x)的图像开口向上，顶点坐标为1, 3，那么曲线y f(x)上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是
A． 0,
111
; ② x 0,x2 2 2; ③ a,b,c R,a b a c b cabx
2 2 2 2
B． C． D．0, , 0, , 2 3 2 3 2,3 3
y x
7．已知x、y满足不等式组 x 2y 4，则t x2 y2 2x 2y 2的最小值为
y 2
A．
1
B．5 C．2 D．2 5
2
8．已知f(x) ax bx c(a 0), , 是方程f(x) x的两根，且0 ,当0 x 时，下列关
系式成立的是
A．x f(x) B．x f(x) C．x f(x) D．x
f(x)
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二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 9．已知 an 为等差数列，且a7 2a4 1,a3 0，则公差d 10．定义运算：
a1a3
a2a4
a1a4 a2a3，则函数f(x)
1
cosx 的最大值是
sinx1
11．已知函数y ax(a 0,a 1)的反函数是y f是 。 12．函数y
(x)，若f 1(m) f 1(n) 0，则m n的最小值
x x的最大值为
13．如图，已知非零向量OA、OB与向量OP共面，且夹角分别为
2
和，设
36
，则向量和的夹角的取值范围是
14．矩形ABCD中，对角线AC与边AB、AD所成的角分别为 、 ，则
cos2 cos2 1，如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请应用类比推理，写出一个
类似的结论： 15．对于函数f(x)
13a2
x x (3 a)x b，(1)若f(2) 7，则f( 2) 。 32
（2）若f(x)有六个不同的单调区间，则a的取值范围是 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2
16．（本题满分12分）已知函数f(x) 2x 2ax b,f( 1) 8.对 x R,都有f(x) f( 1)成立；
记集合A xf(x) 0,B xx t 1. （1）当t 1时，求(CRA) B；
（2）设命题P:A B ,若P为真命题，求实数t的取值范围。
17．（本题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足sinB （1）求sin2B cos（2）若b
2
, 3
A C
的值； 2
2，当ac取最大值时，求cos(A
3
)的值。
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18．（本题满分12分）已知数列 an 满足a1
an 11*
,an (n 2,n N). n4( 1)an 1 2
（1）证明：数列
1
( 1)n 是等比数列； an
（2）设bn
1
，求数列 bn 的前n项和Sn； 2an
19．（本题满分13分）已知函数fn(x) (1 x)n 1,(n N*,且n 1) （1）设函数h(x) f3(x) f2(x),x 2,0 ，求h(x)的最大值和最小值； （2）若x 2,求证：fn(x) nx.
20．（本题满分13分）现有甲、乙两个容器，分别盛有浓度为10%、20%的某种饮料500mL，实验人员对它们进行调和实验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100mL溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和;然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100mL溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；……依照上述操作程序反复进行调和试验，记第
n 1(n N*)次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度分别为an和bn。
（1）试写出a1和b1的值；
（2）依据调和程序，是用n表示甲、乙两个容器中饮料的浓度的差bn an；
（3）试求出第n 1(n N)次调和后甲、乙两个容器中饮料的浓度an、bn关于n的表达式。
21．（本题满分13分）对于函数f(x)，若存在x0 R，使f(x0) x0成立，则称x0为f(x)的不动点。
*
x2 a如果函数f(x) 有且仅有两个不动点0和2.
bx c
（1）试求b、c满足的关系式；
1
（2）若c 2时，各项不为零的数列 an 满足4Sn f a
n
（3）设bn
1 11 ，求证： a n
an 1
1 1 1 e an
；
an
1
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009 1 ln2009 T2008。 an