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专项强化训练(二)
三角函数与平面向量的综合应用
一、选择题
1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,则
tanθ=( ) A. B.
C.- D.-
),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,
【解析】选B.因为a∥b, 所以sinθ-即sinθ=
cosθ=0, cosθ.故tanθ=
.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),
n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为 ( ) A. B. C. D. 【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解. 【解析】选D.因为m∥n, 所以2sinB(2cos2-1)=-所以sin2B=-cos2B,
.
cos2B,即tan2B=-
又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).
所以2B=,所以B=.
3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足( )
A.a与b的夹角等于α-β B.a⊥b
C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b)
【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.
【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β). 同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系. 因为计算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故选D. 4.已知a
=值范围 是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.(0,【解析】选C.因为a-b=所以|a-b|===
=
,
,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取
) D.(0,
,
]
因为θ∈(0,π),所以∈故|a-b|∈(0,
).
,cos∈(0,1).
5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,A.
·
=-2且a+b=5,则c等于( ) C.4 D.
·
B.
【解题提示】由已知cosC=,=-2,利用数量积公式得到ab=8,
再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c. 【解析】选A.由已知cosC=,
·
=-2,
得b·a·cos(π-C)=-2 b·a·cosC=2, 所以ab=8,
利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=故选A. 二、填空题
6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是 .
【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解. 【解析】由m∥n可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.
.
从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m⊥p可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.
故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形
7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量为α,则sinα的值为 . 【解析】设向量β=,
cosβ
=-,sinα=sin(π-α
)=sin
-答案:
×=
.
=sinβ
-cosβ
=
×
与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin
的夹角
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
2cos2cosB-sin(A-B)sinB+
,b=5,则
在
方向上的投影为 .
cos(A+C)=-,若a=4
【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2
cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得
[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-, 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-. 则cos(A-B+B)=-, 即cosA=-.
由0<A<π,得sinA=, 由正弦定理,有
所以,sinB=
==.
,
由题知a>b,则A>B,故B=, 根据余弦定理,有(4
)2=52+c2-2×5c×
,
解得c=1或c=-7(舍去). 故向量答案: 三、解答题
9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1). (1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值. (2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值. 【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),
在
方向上的投影为|
|cosB=.
a+b=(sin x+cos x,-), a-b=(sin x-cos x,),
所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0, 即cos2x=-. (2)因为a∥b, 所以-sin x-cos x=0, 即tan x=-, 所以cos2x-sin2x=
=
=.
=
10.已知向量a=（
sin(x+f(x)=m(a·b+
),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数
sin2x),m为正实数.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数. 【解析】(1)f(x)=m(a·b+=m[sin(x+)cos x-sin2x+=m(cos2x-sin2x+=2msin(2x+).
由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.
sin2x) sin2x]
sin2x)
又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z). (2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍, 得y=2msin(x+), 再向右平移个单位, 得y=2msin[(x-)+], 所以:g(x)=2msin x.
由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m, 所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点. 当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点, 当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.
11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n. (1)求A的大小.
(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③
2c-(
+1)b=0;④
B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.
【解析】(1)因为m⊥n, 所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,
即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-, 因为A+B+C=180°,
所以cos(B+C)=-cosA, 所以cosA=,又0°<A<180°, 所以A=30°.