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2012高考模拟试题汇总——导数（文）
【2012西城一模文】19.如图，抛物线y x2 9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD| 2x，梯形ABCD面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式； （Ⅱ）若
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，点C的横坐标为x，点CyC x 9． ………1分
0，解得xB 3，舍去xB 3．………2分 2
2
|CD|
k，其中k为常数，且0 k 1，求S的最大值． |AB|
x 2 3)( x2 9) (x 3)( x2 9)． 4分
3)( x 9)，0 x 3． ……5分
2
0 x 3k．
……6分
3k，
2
则f (x) 3x 6x 9 3(x 1)(x 3)． ………8分
令f (x) 0，得x 1． ………9分 ① 若1 3k，即
1
k 1时，f (x)与f(x)的变化情况如下： 3
(0,1)
x
1
(1,3k)
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f (x) f(x)
↗
↘
极大值
所以，当x 1时，f(x)取得最大值，且最大值为f(1) 32． …………11分 ② 若1 3k，即0 k
1
时，f (x) 0恒成立， 3
2
所以，f(x)的最大值为f(3k) 27(1 k)(1 k)． ………13分 k 1时，0 S的最大值为32
；
1
3 )． 【2012东城一模文】（18）已知x 1是函数f() （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x1，x2 0,2 时，证明：f(x1) f(
（18）（Ⅰ）解：f'(x) (ax a 2)e， 由已知得f'(1) 0，解得a 1． 当a 1时，f(x) ，在x 1处取得极小值．
所以a 1. 分
2)e，f'(x) (x 1)e. 当x 0,1 (x)e 0，f(x)在区间 0,1 单调递减；
x
x
x
x
x
当x'(x) (x 1)e 0，f(x)在区间 1,2 单调递增. …………8分
x
所以在区间 0,2 上，f(x)的最小值为f(1) e， 又f(0) 2，f(2) 0，
所以在区间 0,2 上，f(x)的最大值为f(2) 0. …………12分 对于x1,x2 0,2 ，有f(x1) f(x2) fmax(x) fmin(x)． 所以f(x1) f(x2) 0 ( e) e. …………13分
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【2012朝阳一模文】18. 已知函数f(x) ax2 1 ex,a R. （Ⅰ）若函数f(x)在x 1时取得极值，求a的值； （Ⅱ）当a 0时，求函数f(x)的单调区间.
（18）解：（Ⅰ）f (x) ax2 2ax 1 ex.x R ……………………2分 依题意得f (1) (3a 1) e=0，解得a
1
. 经检验符合题意. ………4分 3
2
（Ⅱ）f (x) ax2 2ax 1 ex，设g(x) ax 2ax 1，
（1）当a 0时，f(x) e，f(x)在 , ……5x
（2）当a 0时，方程g(x) ax 2ax 1=0的判别式为 ， 令 0, 解得a 0（舍去）或a 1.
1°当a 1时，g(x) x 2x 1 (x 1) 0
2x
即f (x) ax 2ax 1 e 0，
222
且f (x)在x 1两侧同号，仅在x1时等于，
……………………7分
2ax 1 0恒成立，
上为单调减函数. ……………9分
0，
2
，
1 作差可知 1 ， aa
上则当x 1 时，g(x) 0，f (x) 0，f(x)在( , 1为单调减函数；
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当 1时，g(x) 0，f (x) 0， x 1 1 上为单调增函数；
f(x
)在( 1
aa
当x 1 时，g(x) 0，f (x) 0，f(x
)在( 1 , )上为
aa
单调减函数. ……………………………………………………………………13分
综上所述，当 1 a 0时，函数
函数f(x)的单调减区间为( , 的单调增区间为( 1 1 【2012丰台一模文】18．已知函数以f(x （I）若曲线y=f（x）在(1,f(1)) （Ⅱ）若a 0，函数y=f（x）在区间 3)上存在极值，求a的取值范围； （Ⅲ）若a>2，求证：函数0，2）上恰有一个零点．
【2012f(x) alnx
a，使得对任意的x 1, ，都有f(x) 0？若存在，求a的.
(18)解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0, ).
2
121
x (a R且a 0). 22
a x2 a
f'(x) x . ………………………………………2分
xx
当a 0时，在区间(0, )上，f'(x) 0.
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所以 f(x)的单调递减区间是(0, ). ………………………………………3分当a 0时，令f'(x)
0得x
x .
函数f(x),f'(x)随x的变化如下：
所以f(x)在[1, )上的最大值为f(1) 0x [1, )，都有f(x) 0.7分
x)在[1, )上单调递减.
，即对任意的x [1, )，都有f(x) 0. 所以 f 0，与对于任意的x [1, )，都有f(x) 0矛盾. ……12分
综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是( ,0)
(0,1].…13分
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1
【2012房山一模文】18.设函数f(x) 3
x3 2ax2 3a2x a(a R). （Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意的x (3aa,，都有)f(x) a 1，求a的取值范围. 18．（本小题共13分）
解：（I）∵当a 1时，f(x)
13
x3
2x2 3x 1，………………………f (x) x2 4x 3 2分
当x 3时，f(3) 1，f (3) 0 3 ∴曲线y f(x)在点 3,f(3) 处的切线方程为y 1 04分
（II）f (x) x2
4ax-3a2
(x a)(x 3a)5分 a 0时，f (x) 0，( , )6分
(x) 0； 在区间(a,3a)上，f (x) 0， (a,3a)是函数的单调增区间， f(a) a
43
a3
；………………8分 ax)
0； 在区间(3a,a)上，f (x) 0，
(3a,a)是函数的单调增区间
f(3a) a ………………10分 (III) 根据（II）问的结论，x (3a,a)时，f(x) f(a) a 4
3
a3………………11分
因此，不等式f(x) a 1在区间(3a,a)上恒成立必须且只需：
a 4a3 a 1 3，解之，得 a ……………………13