a 0 分
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【2012石景山一模文】18．已知函数f(x) x2
2alnx.
（Ⅰ）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若函数g(x)
2
x
f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.
18．解：（Ⅰ）
f'(x) 2x 由已知f'(2) 1，解得（II）函数f(x)（1）当a 0时, f'(x（2）当a 0时f'(x)
8分 9分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g'(x) 0在[1,2]上恒成立，
即
2x2 2x 2a
x 0在[1,2]上恒成立. 即a 1x
x2
在[1,2]上恒成立. …………11分
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111
x2，在[1,2]上h'(x) 2 2x (2 2x) 0， xxx
7
所以h(x)在[1,2]为减函数. h(x)min h(2) ,
2
7
所以a . …………14分
2
令h(x)
2ax a2
1
【2012西城二模文】18．已知函数f(x) ，其中a R．
（Ⅰ）当a 1时，求曲线y f(x)（Ⅱ）求f(x)的单调区间． 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a 1时，f(x)
2x
，分 f(x)x2 1由 f (0) 2， 得曲线y f(x)分 （Ⅱ）解：f (x) 2
(x a)(ax 1)
． ………………6分
2
x 1
7分
故f(x)的单调减区间是( , a)，(, )；单调增区间是( a,)．………10分 ③ 当a 0时，f(x)与f (x)的情况如下：
1
a1a
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所以f(x)的单调增区间是( ,)；单调减区间是(
1a1
, a)，( a, )． a
………………13分 综上，a 0时，f(x)在( , a)，
a 0时，f(x)在(0, )单调递增，在(，
( a, )单调递增；在(1, a)单调递减．
a
【2012朝阳二模文】18.设函数f(x) alnx（Ⅰ）已知曲线y f(x)在点(1,f(1)) （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；
x，都有f(x) 3 x． （ . ………1分
………2分
0，
.………4分
a2a2a(x 2a)
（Ⅱ）f (x) 2 . 2
xxx
（1）当a 0时，因为x 0，所以x 2a 0，a(x 2a) 0，
所以f (x) 0，函数f(x)在(0, )上单调递减. ………6分 （2）当a 0时，
若0 x 2a，则a(x 2a) 0，f (x) 0，函数f(x)在(0,2a)上单调递减；
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若x 2a，则a(x 2a) 0，f (x) 0，函数f(x)在(2a, )上单调递增. …8分 综上所述，当a 0时，函数f(x)在(0, )上单调递减；当a 0时，函数f(x)在
(0,2a)上单调递减，在(2a, )上单调递增. ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x) lnx
2. x
2
x
3. 设g(x) f(x) (3 x)，即g(x) lnx
gx.
所以g(x) 0，即f(x) (3 x) 0x，都有
f(x) 3 x. ………14分
【2012海淀二模文】f(x)
1x1,x2 [ 3, )，有f(x1) f(x2) m成立，求实数m的最(18)13分） 解：f'(x)
x a
（a 0，a R）. 22
x 3a
(x a)(x 3a)
.
(x2 3a2)2
令f'(x) 0，解得x a或x 3a. ……………………………………2分 （Ⅰ）当a 0时，f'(x)，f(x)随着x的变化如下表
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函数f(x)的单调递增区间是( 3a,a)，函数f(x)的单调递减区间是( , 3a)，
(a, ). ……………………………………4分
( 3a, ). ……………………………………6分
3,1)上的增函数，是(1, )上的减函数.
……………………………………8分 11
f( 3) ，最大值为f(1) .
62
……………………………………10分 ) f(x2) f(1) f( 3)
2
. 3
2. 3
x1) f(x2) m恒成立的实数m的最小值为
……………………………………13分
【2012东城二模文】（18）已知函数f(x)
12
x 2x aex. 2
（Ⅰ）若a 1，求f(x)在x 1处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.
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（18）解：（Ⅰ）由a 1，f(x)
x
123
x 2x ex，f(1) e， ………1分 22
所以f (x) x 2 e. …………3分 又f (1) 1 e，
所以所求切线方程为y ( e) (1 e)(x 1)即2(1 e)x 2y 1 0. …5分
3
2
1
（Ⅱ）由已知f(x) x2 2x ae
x，得f (x) x 2 aex.
分
【（Ⅱ）求证：当x>1时，f(x)<g(x)成立；
（Ⅲ）证明：1
111
． ... ln(n 1)（n N*）
23n
20．解：（Ⅰ）因为f(x)与g(x)的图象在x轴上有公共点(1，0)，
所以g(1) 0，即a b 0． 又因为f (x)
1b
，g (x) a 2， xx
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由题意f (1) g (1) 1，
11
，b ． ……………………4分 22
11
（Ⅱ）设F(x) f(x) g(x) lnx (x )，
22x
11111
则F (x) 2 ( 1)2 0．
x22x2x
所以a
所以F(x)在x 1时单调递减．
由F(1) 0 可得当x 1时，F(x)
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，
令x
11
(x ) lnx (x 1)2x
k 1
，则 k
ln
k 11k 1k1 1 ( ) (1 )k2kk 12 k111
( )，2kk 1
所以ln(k 1) ln
k
将上述n个不等式依次相加得 1)
， ( ... )
223n2(n 1)
n
ln(n 1)． ……………13分 2(n 1)
2
【4lnx ax 6x b（a，b为常数），且x 2为 (Ⅲ) 若函数有3个不同的零点，求实数b的取值范围．
18．（本小题满分14分）
解： (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为（0，+∞）……1分 ∵ f ′ (x) =