《经济数学——微积分》第九章
二重积分的计算法( 第二节 二重积分的计算法(2)一、利用极坐标系计算二重积分 二、广义二重积分 三、小结 思考题
《经济数学——微积分》第九章
一、利用极坐标计算二重积分1 1 2 2 σ i = ( ri + ri ) θ i ri θ i 2 2 r = ri + ri 1 r = ri = ( 2ri + ri ) ri θ i 2 ri + ( ri + ri ) = ri θ i 2= ri ri θ i ,o
(polar coordinates)
θ = θ i + θ i σ iD
θ = θi
A
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ . D D
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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图r = 1 (θ)r = 2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD
A
= ∫ dθ ∫α
β
2 (θ )
1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
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区域特征如图
r = 1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = 2 (θ )
1 (θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD
= ∫ dθ ∫α
β
2 (θ )
1 (θ )
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(2)区域特征如图r = (θ )
α ≤θ ≤ β,0 ≤ r ≤ (θ ).βo
D
αA
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD
= ∫ dθ ∫α
β
(θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
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二重积分化为二次积分的公式( 二重积分化为二次积分的公式(3)区域特征如图π 0 ≤ θ ≤ 2π,r = (θ )
D
0 ≤ r ≤ (θ ).
o
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθD
= ∫ dθ ∫0
2π
(θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
∫∫ rdrdθ .D
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例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 x ≤ y ≤ 1 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = r cosθ 解 在极坐标系下 y = r sinθ
x2 + y2 = 1
1 直线方程为r = , sinθ + cosθ
所以圆方程为 r = 1,
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy= ∫D
π2
0
dθ ∫
1
1 sin θ + cosθ
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
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例2
计算 ∫∫ eD
x2 y2
dxdy ,其中 D 是由中心在
原点， 的圆周所围成的闭区域. 原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域解
在极坐标系下D: D: 0 ≤ r ≤ a ,0 ≤ θ ≤ 2π .
∫∫ eD
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
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例3
求广义积分∫0 e2
∞
x2
dx .2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }2 2 2
D1
D S2 DR
S = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R}
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然有 D1 S D2
Q e
x2 y2
> 0,
∴
∫∫ eD1
x2 y2
dxdy ≤ ∫∫ eS
x2 y2
dxdy ≤ ∫∫ eD2
x2 y2
dxdy .
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又Q I =
∫∫ eSR 0
x2 y2
dxdyR y2
=∫ e
x2
dx ∫ e0
dy = ( ∫ e0
R
x2
dx ) ;
2
I1 = ∫∫ eD1π 2
x2 y2
dxdy r2
= ∫ dθ ∫ e0 0
R
π R2 rdr = (1 e ); 4 π 2 R2 ); dxdy = (1 e 4
同理 I 2 = ∫∫ eD2
x2 y2
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Q I1 < I < I 2 ,R π π 2 R2 x2 2 R2 ∴ (1 e ) < ( ∫ e dx ) < (1 e ); 0 4 4
π π 当 R → ∞ 时, I 1 → , I 2 → , 4 4 π 即( ∞ e x dx )2 = π , 故当 R → ∞ 时, I → , ∫0 4 42
所求广义积分
∫0 e
∞
x2
π . dx = 2
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例4
计算 ∫∫ ( x + y )dxdy ,其 D 为由圆2 2 D
x 2 + y 2 = 2 y , x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x 3 y = 0 , y 3 x = 0 所围成的平面闭区域.解
y 3x = 0 θ 2 =
π
3
x 2 + y 2 = 4 y r = 4 sinθ
6 x 2 + y 2 = 2 y r = 2 sinθ
x 3y = 0 θ1 =π 3
π
∫∫ ( xD
2
+ y )dxdy = ∫2
π 6
π dθ ∫ r rdr = 15( 3 ). 2 sin θ 24 sin θ 2
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sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 例 5 计算二重积分 ∫∫ 2 2 x +y D 2 2 其中积分区域为 D = {( x , y ) | 1 ≤ x + y ≤ 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， 由对称性，
D = 4D1注意：被积函数也要有对称性 注意：被积函数也要有对称性.
D 1
sin( π x 2 + y 2 ) sin( π x 2 + y 2 ) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy = 4 ∫∫ x 2 + y 2 dxdy D1 D
sin πr rdr = 4. = 4 ∫ dθ ∫ 0 1 rπ 2
2
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例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积解 根据对称性有 D = 4D1在极坐标系下D1
x 2 + y 2 = a 2 r = a,
( x + y ) = 2a ( x y ) r = a 2 cos 2θ ,2 2 2 2 2 2