《经济数学——微积分》第九章
r = a 2 cos 2θ , 由 r=a 所求面积σ =
π 得交点 A = ( a, ) , 6
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdyD
D1π 6
= 4 ∫ dθ ∫0
a 2 cos 2 θ
a
rdr
π = a ( 3 ). 32
《经济数学——微积分》第九章
二、广义二重积分基本解法： 基本解法先在有界区域内积分， 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无 界区域时取极限求解. 界区域时取极限求解. dσ , α ≠ 1. 例 1 求广义二重积分 I = ∫∫ 2 2 α D (1 + x + y ) D 是整个 xOy 平面
D = {( x, y) | x 2 + y 2 ≤ R2 } 解 先考虑圆域 dσ I ( R ) = ∫∫ (1 + x 2 + y 2 )α D
《经济数学——微积分》第九章
=
∫
2π 0
dθ
∫
R 0
r dr 2 α (1 + r )2
1 = 1 α (1 + R
π
)α 1
1
当α > 1时当α < 1时
lim I ( R ) = R → +∞→ +∞R → +∞
α 1
π
则 I=
α 1
π
lim I ( R ) = ∞ 则原积分发散
《经济数学——微积分》第九章
1 | x |≤ a , f ( x, y) = ( x) ( y), 例 2 设 ( x ) = 2a 0 | x |> a F ( z ) = ∫∫ f ( x , y ) d σ , 其 中 D = {( x, y) | x + y < z},求 F ′ ( z ).D
解
区域 D 可以表示为
D = {( x, y) | ∞ < y < z x, ∞ < x < +∞ }, 故
F (z) =
∫
+∞
∞
dx
∫
z x
∞
f ( x , y ) dyz x ∞
==
∫∫
+∞+∞
∞
dx ∫ ∞ ( x ) ( y ) dy
z x
( x ) dx ∞
∫
( y ) dy
《经济数学——微积分》第九章
所以
F ′( z ) =
∫
+∞
于是有: 于是有 : (1)
1 a = ∫ a ( z x ) dx 2a 1 z
+a 令 t = z x , 则有 F ′( z ) = ∫z a ( t )dt 2az < 2a 时 ,
∞
( x ) ( z x )dx
F ′( z ) = 0z + 2a F ′( z ) = 4a 2 2a z F ′( z ) = 4a 2
(2 ( 2 ) 2a ≤ z < 0 时 ,(3 (3)(4)
0 ≤ z ≤ 2a 时 ,z > 2a 时 ,
F ′( z ) = 0