其中：t′=ωt+ 0；ω为系统角频率； 0为时域电流故障分量的初始角。
可根据傅立叶变换求得CT饱和后电流故障分量的相量表达，在图3（c）中CT饱和后电流工频故障分量在实轴和虚轴的投影分别表示为：
m xImsin2 x
′′′ （20）
i(t)sintdt()= xm
π∫0π2m xIm1 cos2 x
′=′′′ ()cosd()（21）=Imyitttm
π∫0π2
以导通/不间断角的变化范围和方式设定为： x:π→0，式（20）的值随导通/不间断角的减少而单调减少，式（21）的值在导通/不间断角变化范围内为有限值，其中绝对值最大在： x=π/2处，此角度下可得电流故障分量在实轴和虚轴的投影值分别为：
II′=m,Imy′=m （22） Imx
2π
导通角在该角度下可综合定性地反映为电流因饱和衰减为原来的一半，在此基础上分析单端CT饱和对电流差动保护和纵联阻抗幅值的影响，因此可得到此导通角度下电流工频故障分量的相量表达形式为：
′=I′+jI′≈0.59I∠32o （23） ΔImmxmym′=Imx
衰减后成由于CT发生饱和，式（3）中的ΔIm
′，将式（23）代入式（3）为式（23）的ΔI，可得
m
电流工频故障分量的相量和在此状态下所呈现的不
平衡量为： =ΔI ′+ΔI =ΔI ′ ΔI ≈0.59I （24） ΔIopmnmmm将式（24）代入式（4），可得区外故障CT饱和下纵联阻抗的幅值为：
Zop≈1.68zD （25）
图3 CT饱和后故障和电流故障分量状态示意图 Fig.3 Schematic diagram of the state of the fault and the current
fault component after CT saturation
式（25）和式（9）的计算结果之间仍能留有充分可分辨的差值。在极端状态下，设CT饱和达到极限：
′→0 （26） ΔI
m
在图3中，线路在n端区外发生故障，使电源
侧m端CT发生饱和，可以假设在不考虑CT饱和的情况下m端CT二次绕组获得的理想电流故障分量的时域和相量表达形式分别为：
将式（26）代入式（24），此时的不平衡量为： =ΔI ′+ΔI → ΔI ≈I （27） ΔI
op
m
n
m
m
根据式（2）结论，因此在极端的情况下纵联阻
抗的幅值还可表示为：
Zop≥zD （28）
im(t′)=msint′ （18）
=I∠0o （19） ΔImm
纵联阻抗的幅值仍然未小于线路阻抗的幅值，
由此可知，无论CT饱和程度如何，也丝毫不会影响纵联阻抗对各类故障进行准确判断和灵敏分辨。
基于纵联阻抗幅值的输电线路纵联保护
夏经德，等 基于纵联阻抗幅值的输电线路纵联保护 - 47 -
3 三相线路下的纵联阻抗及其纵联保护
针对三相线路模型，可以得到相同的结论。图4为基于R-L线路集中参数模型下，a相区内单相接地故障时的三相线路故障附加网络。图5为系统零序网络。
图5中， Z1m，Z1n为两端区外等效系统正序阻抗；Zs，Zm，Z1，Z0为单位长度线路自、互、正序、
,I ,R为故障点零序电压、电流及零序电抗；U
F0
F0
F0
针对在三相电路中遇到不平衡接地故障时所产
生的相间耦合，将式（29）中的零序电流用式（30）中的零序电压代替，整理后的式（29）可表示为： ΔU=ΔU ΔU=ΔI m zd ΔI n z(D d)（31） op Σm Σn Σ
1
1
3ZU /Z； ΔU =ΔU 其中：ΔU=ΔUm Σm mm00n Σn /Z。 3ZmUn00
针对健全相（b相），式（31）可表示为： ΔUopbΣ=(ΔImb ΔImb)
z1D/2 （32） 这样，基于三相线路模型下健全相的电压故障分量差和基于单相线路模型下区外故障时的电压故障分量差一样，都具有完全同样的表达形式。
在三相线路中，由于存在相间耦合关系，当发生不平衡的接地故障时，在各相电路中形成由零序电流产生的相间耦合。根据式（31）可构建基于图4消除相间耦合后的由线路正序参数组成的通用相故障附加电路，并且上述单位长度线路的阻抗就是单位长度线路的正序阻抗，见图6。
故障电阻。
)
图4 a相单相接地时的三相故障附加网络 Fig.4 Three-phase super-imposed network for
single-phase-ground fault
D
·Um0·Z)·
图6 通用故障相电路模型
Fig.6 General circuit model of fault phase
图5 系统的零序网络
Fig.5 System’s zero-sequence network
三相线路中各相线路两端电压故障分量差可表为：
=ΔU ΔU =ΔI zd ΔI z(D d)ΔUop m n m Σ1n Σ1其中：ΔI =ΔI +K×3I
m Σ
m
m0
） （29
；ΔI =ΔI +3KI ；
n Σ
n
n0
=a,b,c；K=(z0 z1)/3z1。
由图5的零序网络可得零序电压和零序电流的关系为： =U U =I zd I z(D d) （30） Uop0m0n0m00n00
据此可得出以下结论：由于在式（31）中使用
零序电压补偿并消除了相间耦合的影响，在1.2和1.3节中基于单相线路模型下所描述纵联阻抗的幅值特征完全准确无误地反映出基于三相线路模型下纵联阻抗的实际性能特征。
总之，当区外故障时，纵联阻抗的幅值明显大于线路串联正序阻抗；区内故障时，纵联阻抗的幅值显著小于上述定值；上述算法严格地建立在三相电路模型基础上，因此可适用于各种故障状态下的健全相和故障相。
根据1.2和1.3节的内容，提出了基于纵联阻抗幅值的输电线路分相纵联保护。该纵联保护由两个计算项组成，分别是各相的电流故障分量相量和的模数计算项和各相的纵联阻抗内部故障判别的幅值计算项，这两个计算项通过逻辑与运算联合，表示为：
基于纵联阻抗幅值的输电线路纵联保护
- 48 - 电力系统保护与控制
+ΔI >I ΔIm n set
（33） ΔU op Σ
<z1D Zop =Kk
IΔop
其中：Kk为灵敏度选择系数，可根据具体线路情况
设置，通常可供选择的取值范围为：1~1.3；在纵联保护中利用各相电流故障分量相量和的模数作为启动单元，Iset作为保护动作的最小启动量门槛，应保证能躲过在区外故障时所产生的不平衡电流及其影响，Iset可固定地取为0.1 A（二次侧电流）；阻抗幅值的单位为欧姆（ ），当其数值小于线路串联正序阻抗的幅值时，必为区内故障，线路两侧保护同时动作；否则为区外故障，保护可靠不动。纵联保护内部故障判别流程如图7所示。