A ．sin （sin α）＜sin （tan α）＜sin α
B ．sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）
C ．sin （tan α）＜sin α＜sin （sin α）
D ．sin α＜sin （sin α）＜sin （tan α）
【分析】由α∈(0，π4)，得到0＜sin α＜α＜tan α＜1，利用三角函数的单调性解答． 解：因为α∈(0，π4)，所以0＜sin α＜α＜tan α＜1，所以sin （sin α）＜sin α＜sin （tan α）； 故选：B ．
【点评】本题考查了三角函数的单调性；注意角度范围以及对应函数的单调性．
14．（4分）已知△ABC 中，AB ＝2，AC =√2BC ，则△ABC 的面积的最大值为 （ ）
A ．2√2
B ．2√5
C ．2
D ．23√3
【分析】设BC ＝a ，则AC =√2a ，利用余弦定理可求得cos 2B =
1a 2+a 216?12，再利用三角形的面积公式可求得S △ABC ＝a sin B ，继而可求S △ABC 2=?116（a 2﹣12）2+8，从而可得△ABC
面积的最大值．
解：依题意，设BC ＝a ，则AC =√2a ，又AB ＝2，
由余弦定理得：（√2a ）2＝a 2+AB 2﹣2a ?AB cos B ，
即a 2+4a cos B ﹣4＝0，
∴cos B =4?a 24a =1a ?a 4
， ∴cos 2B =12+a 216?12
， ∴sin 2B ＝1﹣cos 2B =32?a 216?1a 2． ∵S △ABC =12AB ?BC sin B =12×2a sin B ＝a sin B ，
∴S 2△ABC ＝a 2sin 2B ＝a 2（32?a 216?1
a 2）=?a 416+32a 2﹣1=?116（a 4﹣24a 2）﹣1=?116（a 2﹣12）2+8，
当a 2＝12，即a ＝2√3时，2、2√3、2√6能组成三角形，
∴S 2max ＝8，
∴S max ＝2√2．
故选：A ．
【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得S 2△ABC =?116
（a 2﹣12）2+8是关键，也是难点，属于难题． 三、解答题（本大题共4小题，满分44分）
15．（10分）在△ABC 中，√3tanC ?1=
tanB+tanC tanA ， （1）求角B 的值；
（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求边长a 、c 的值．
【分析】（1）由已知式子和两角和的正切公式变形可得tan B ，可得B 值；
（2）由正弦定理和已知可得c ＝2a ，再由余弦定理可得a 值，可得c 值．
解：（1）∵在△ABC 中，√3tanC ?1=
tanB+tanC tanA
， ∴tan B +tan C ＝tan A （√3tan C ﹣1），
∴tan B =√3tan A tan C ﹣（tan A +tan C ）
=√3tan A tan C ﹣tan （A +C ）（1﹣tan A tan C ），
∴tan B =√3tan A tan C +tan B （1﹣tan A tan C ），
∴tan B ﹣tan B （1﹣tan A tan C ）=√3tan A tan C ，
∴tan B tan A tan C =√3tan A tan C ，
∴tan B =√3，∴B =π3，
（2）∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，
由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，
代入数据可得9=a 2+4a 2?2a ?2acos π3，
解得a =√3，∴c =2a =2√3．
【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用以及两角和与差的正切函数的变形应用，属中档题．
16．（10分）已知函数f （x ）＝2sin （13x ?π6），x ∈R （1）求f(5π4)的值；
（2）设0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f （3β+2π）=65，求cos （α+β）的值． 【分析】（1）代值计算可得答案；
（2）由题意和同角三角函数的基本关系可得sin α和cos β的值，进而由两角和的余弦公式可得．
解：（1）由题意可得f(5π4)=2sin （13
×5π4?π6）＝2sin π4=√2； （2）∵0≤β≤π2≤α≤π，f(3α+π2)=1013，f （3β+2π）=65，
∴f （3α+π2）＝2sin （α+π6?π6）＝2sin α=1013，∴sin α=513，
f （3β+2π）＝2sin （β+2π3?π6）＝2cos β=65，∴cos β=35，
∴cos α=?√1?sin 2α=?1213，sin β=45，
∴cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β
=?1213×35?513×45=?5665
． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．
17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，钝角α+π4
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若α+π4的终边与单位元圆交于点(?35，t)．
（1）求t 的值；
（2）求cos α和sin α的值；
（3）设f(x)=cos(πx 2+α)，求f （1）+f （2）+…+f （2015）的值．
【分析】（1）根据题意和三角函数的定义求出cos （α+π4）的值，再由平方关系求出t 的值；
（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cos α和sin α的值；
（3）根据三角函数的周期公式求出f （x ）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．
解：（1）∵钝角α+π4的终边与单位元圆交于点(?35，t)，
∴根据三角函数的定义，cos （α+π4）=?35，
∴t ＝sin （α+π4）=√1?cos 2(α+π4)=45；
（2）由sin （α+π4）=45、cos （α+π4）=?35得，
√22
（sin α+cos α）=45，① √22（cos α﹣sin α）=?35，② 由①②解得，cos α=√210，sin α=7√210；
（3）∵f （x ）＝cos （
πx 2+α），∴函数f （x ）的周期T =2ππ2=4， ∴f （1）＝cos （π2+α）＝﹣sin α=?
7√210，f （2）＝cos （π+α）＝﹣cos α=?√210， f （3）＝cos （32
π+α）＝sin α=7√210，f （4）＝cos （2π+α）＝cos α=√210， f （5）＝cos （5π2+α）＝﹣sin α，…，
则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝0；
∴f （1）+f （2）+…+f （2015）＝f （1）+f （2）+f （3）
=?7√210?√210+7√210=?√210．
【点评】本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．
18．（12分）已知A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }，B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }，
（1）求集合A ∩B ；
（2）若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2)+m ＞0恒成立，求m 的取值范围．
【分析】（1）分别求出关于A 、B 中的α的范围，从而求出A ∩B ，（2）问题转化为对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32?12（cos x ?12）2恒成立，求出即可．