【解答】解（1）A ＝{α|2cos 2α﹣3cos α+1≤0，α∈R }
＝{α|（2cos α﹣1）（cos α﹣1）≤0，α∈R }
＝{α|12≤cos α≤1，α∈R } ＝{α|2k π?π3≤α≤2k π+π3，α∈R }，
B ＝{α|2sin α＞1，α∈R }＝{α|sin α＞0}＝{α|2k π＜α＜2k π+π}，
∴A ∩B ＝{α|2k π＜α≤2k π+π3，k ∈Z }，
（2）由cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2)+m ＞0
?cos2x ﹣4sin （π4
+x 2）cos （π4+x 2）+m ＞0 ?cos2x ﹣2sin （π2+x ）+m ＞0
?cos2x ﹣2cos x +m ＞0
?2cos 2x ﹣1﹣2cos x +m ＞0
?m ＞32?2（cos x ?12）2
∴若对任意x ∈A ∩B ，都有cos2x ?4sin(π4+x 2)sin(π4?x 2)+m ＞0恒成立，
即对任意x ∈A ∩B ，都有m ＞32?2（cos x ?12）2恒成立，
∵x ∈（2k π，2k π+π3]，∴cos x ∈[12，1），
∴0≤2（cos x ?12）2≤12
， ∴m ＞3
2
．
【点评】本题考查了集合的运算，考查三角函数的运算，考查函数恒成立问题，本题是一道中档题．
四、附加题（本大题共2小题，满分20分）
19．（10分）已知△ABC 三个内角A 、B 、C 满足A +C ＝2B ，1cosA
+
1cosC
=?
√2
cosB ，求cos A?C 2
的值．
【分析】先根据A ，B ，C 的关系求出B 的值，再代入到
1cosA
+
1
cosC =?
√2
cosB
中得到cos A ，cos C 的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos A+C
2
，cos （A +C ）的值代入
整理后因式分解，即可求出cos A?C
2的值． 解：A +C ＝π﹣B ＝2B ， ∴B ＝60°，A +C ＝120°． ∵?√2cos60°
=?2√2，
∴
1cosA
+
1cosC
=?2√2
将上式化为cosA +cosC =?2√2cosAcosC
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos A+C 2cos A?C
2=?√2[cos(A +C)+cos(A ?C)]
将cos A+C
2=cos60°=1
2，cos(A +C)=?1
2代入上式得cos(A?C
2)=√2
2?√2cos(A ?C) 将cos(A ?C)=2cos 2(A?C 2)?1代入上式并整理得4√2cos 2(A?C 2)+2cos(A?C
2
)?3√2=0(2cos
A?C 2?√2)(2√2cos A?C
2+3)=0， ∵2√2cos A?C
2+3≠0， ∴2cos A?C
2?√2=0． 从而得cos A?C
2=√2
2．
【点评】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．
20．（10分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足tan B=
cos(C?B) sinA+sin(C?B)，
（1）判断△ABC的形状，并加以证明；
（2）当a＝2，∠B＝x时，将y=b+c+1
bc表示成y＝f（x）的形式，并求此函数的定义域，
当x为何值时，y＝f（x）有最值？并求出最值．
【分析】（1）切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根据两外项之积等于两内项之积，把分式化为整式，移项，逆用两角和的余弦公式，把脚C化为A+B用两角和的余弦公式展开，合并同类项，得到两角余弦乘积为零，则两角中必有一个直角．
（2）由题意及（1）可得：A=π
2，由正弦定理可解得b＝2sin x，c＝2cos x，从而可得y=
b+c+1
bc
=
2(sinx+cosx)+1
4sinxcosx，(0＜x＜π
2 )．
设sin x+cos x＝t，y=2t+1
2t2?2
，设u＝2t+1，t=
u?1
2，y=
2u
u2?2u?3
=2
u?3u?2
，由x的范围，
可求t，u的范围，利用基本不等式的解法即可得解．解：（1）△ABC是直角三角形．
证明：由已知得：sinB
cosB =
cos(C?B) sinA+sin(C?B)
，
∴sin A sin B+sin B sin（C﹣B）＝cos B cos（C﹣B），
移项，逆用两角和的余弦公式得：sin A sin B＝cos C，∵在△ABC中，cos C＝﹣cos（A+B），
∴sin A sin B＝﹣cos（A+B），
∴cos A cos B＝0，
∴cos A＝0或cos B＝0（舍去），
∴△ABC是直角三角形．
（2）∵当a＝2，∠B＝x时，由（1）可得：A=π
2，由正弦定理可得：2=
b
sinx
=c sinC，sin C
＝cos x．
∴解得：b＝2sin x，c＝2cos x，
∴y=b+c+1
bc
=2(sinx+cosx)+1
4sinxcosx，(0＜x＜
π
2
)．
设sin x+cos x＝t，y=2t+1
2t2?2
，设u＝2t+1，t=
u?1
2，y=
2u
u2?2u?3
=2
u?3u?2
，
∵x∈(0，π
2
)，t∈(1，√2]，u∈(3，1+2√2]，当u=1+2√2时，y min=1+2√2
2．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，函数的定义域及其求法，不等式的解法及应用，考查了换元法和转化思想，属于难题．