摘要 SARS时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年6月以前的有关SARS的数据为参考资料，着重从数学的角度研究和预测其发展趋势，提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了详细的分析，并提出了应对SARS时疫的若干对策。最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。 关键词：微分方程 概率平均 曲线拟合
一. 问题的提出
2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，中国首当其冲，且受其影响最大。面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展开了抗击SARS的顽强斗争。尽管SARS作为一种时疫尚未过去，人类与SARS的斗争可能才刚刚开始，但SARS时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考，并为抗击SARS时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。
二．数学模型的分析与建立
分析与假设
在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病SARS毒传播的速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播规律可以分为三个阶段:
I. 控制前, 接近于自然传播时的传播模式。
II. 过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。
III. 控制后,在介入人为因素之后的传播模式。
但是，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在SARS刚刚大肆传播就采取了很强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制力度不大的阶段）”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。
另外,社会,经济,文化,风俗习惯等因素都会影响SARS的传播及最终的结果, 但是, 最直接的因素是: 自由传染者的数量及其在健康人群中的分布, 被传染者的数量, 传播形式及病毒本身的传播能力等。在建立模型时不可能也没有必要考虑所有的因素, 只能抓主要的因素进行合理的假设和建模。
由此,我们作如下的假设:
总体假设：国家卫生部提供的全国疫情统计真实可信。
控制前(包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设
1. 将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。
2. 在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数,即认为本地区流入的人口与
流入的人口数相等,时间以天为计量单位。
3. 设每个病人单位时间有效接触的人数 (所谓“有效接触”是指病人与健康者接
触时,足以使健康者受到感染而成为病人)可视为常数。
4. 根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。
5. 假设潜伏期为一常数(5天)。
6. 根据目前的医学调查资料，SARS康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS康
复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源；从社会
心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，我们可以假设一个SARS
康复者二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者(易感染者)，也不是病
人(已感染者)，他们已经退出传染体系，因此将他们归为“退出者”。
7. 由于SRAS的传播时间不是很长(相比于传统的传染病,比如天花,麻疹等)，故假
设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率，而对于由SARS引起的死亡
人数,也将其归为“退出者”。
8. 流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。
9. 将人群分为四类：
健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。
处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发病。用E表示他们在人群众的比率。
病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例。
退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例。
控制后的传播模型的相关假设
1.由于对人口流动加以了限制,我们假设此阶段无病源的输入和输出.
2.由于SARS的治愈疗程迄今还没有确切的资料,而且每一天都有一批人被治愈,故
我们在计算退出率时并没有考虑疗程的问题.
3.被隔离的人群完全断绝与外界的接触,不再具有传染性.
4.不考虑隐性非典患者，即只要感染上SARS病毒的患者最后都会表现出症状。
5.不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分人没有自由活动，对疾病的传播
（感染和被感染）基本不造成任何的影响。
6.我们将人群分为五类:
健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例.
病人(已受感染者)：用I表示病人在人群中的比例.
退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”)：用R表示退出者在人群中的比例.
隔离者：指的是每天被病源传染的人中可控制的部分,它包括家人,同事,邻居以及
能够通过调查追踪到的其他人.这些接触者将被有效隔离. 用
的比例.
未隔离者：无法追踪到的和传染源有直接接触的人.对于强化控制后的模型来说,
病人和可控者皆被完全隔离,使病毒的进一步传播中断,所以,此时的不可控的人中带病毒者将成为社会上的流动病源. 用W表示他们人群中的比例. G表示他们在人群中
模型的建立
I 控前模型的建立
由于控制以前公众和政府对疫情不甚重视，所以我们无法找到这一阶段的数据；而
且，考虑到控制以前的模型和我们现在的实际情况不符，对我们分析和预测将来的疫情走向没有太大的实际意义，故对于控前的模型我们没有做太多具体的数值分析，只是给出了各个参数是如何得到的，而把重点放在了控后模型的建立上
1．参数设定
1——每个病人平均每天有效接触（足以使被解除者感染）的人数。
q ——退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。
l——（流入）流出人口占本地总人口的比率。
1——处于潜伏期的病人的日发病率。
P——流入人口中带菌者所占的比例。
2．控前方程的建立
根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：