|—连续并且是局部一一的，由则定理 34知 f开映射。由 fR一 RI连续的固 .是：“|是有映射，由定理 35知，是闭映射。从而由定理 . f 33知， n R| . R) I=。
定理 31设 Q为线性赋范空间 x中的开集， .0 f= i F Q—x是全连续场并且是局部一一的，则 f d:—是开映射。
证明：任取 x∈Q,证 fo。要 () x是 Q)内点，的不失一
般性，不妨设 x O f o O取 0的 8一邻域 B0 o,x=,= () (,
8,得 f B O8上是一一的，同伦 n( t f )使在 (, )作 x) ,=
定理 38设 fR R连续可微，且满足 .:| I并 ( 当 x“, x≠0 1 )∈R时 I )
( )( ):×[1“续音一， B f0卜R, f则H (∈,连鲁 )并且当 x B ()∈ 0 1∈0 0,【,]时，由 x t≠O可推得一
(当 l 一∞,l x l∞ 2 ) l ll x l )l 一则 R)R n“=证明： Vx∈R,于 Ix≠O, fRI RI局对 “由 f) 则：||—是
≠。于f (_是一， (}由在B。一的故n, )上 xt≠0因此，根据同伦不变性和 B ru ); osk定理得
部一一的； f又连续，由定理 3 .,是开映射。 4知 f
任取 Y f￣则存在序列 f} n x一y∈ R) i, x∈R T, I ) (∞,由 l 一∞知， n )则一 ll l x序列 f} x有界， 则存在x∈R“x】,而由 f的连续性及极限的唯一性。,【从 0
dgfB 0 8,)d gH(,)B 0 8,) dgH(, e ( (,)0= e (· o, (,)0= e (·, 1, (,) )奇数， )BO 8,= O再根据连通区性质， P当∈X,
l 充分小时， dg, (,)p= e( B 18, l l l P有 e ( BO 8,)dg, (,) f f
知，=()由 Y的任意性知，是闭映射。从而由 yfo x,。 f定理 33知， n RI _ R)|=
o≠O因此，x=, l 充分小时， B08 ), fo p当 l l () l P在 (,) 内有解，这表明 0是 f (,) ( 0 s的内点。 B )定理 31设 X是实线性赋范空间， i— X .1 f d F:—=
定理 39设 A (j∈R,e .=a i ) dt A≠O f (n且，∈CR),
存在 a【,]1 o l - f)l l +, f∈0 1,￣,l A( l≤ l l 1则 3> x x l3 x(n RI R)|=。
Y是全连续场并且是局部一一的，并且 f闭映射， 则 x= )x证明：由定理 31 .O知，是开映射， X是开集知， f由
证明：同伦 nx t (-) t f )任取 Y∈R,作 (,=1 t+A (, ) x x o“则存在 rO使 0 (,, 0 x By r t【,]>,∈By r贝当∈O (,,∈ 0 1。) o) 时， (,≠O事实上， n x t O l(-) t f ) nxt, )若 (,=,p1 t+A ( ) i x x=
x是开集， f )又闭映射， x是闭集知， )闭集， 是 从而 x是 x中的既开又闭的集合，因 x是连 )又通的，故 x=。 )x
o可得 l— f)l, l A( l x x=L
, I— f)l l又 i( l x x≤ l参考文献：
xl 1 0 +,贝 l3
L
≤ l +,∈【,] l l p t 0 1∈[,] l x, 0 1,
【钟承奎、 1]范先令、陈文源.非线性泛函分析引论【 . M]兰州：兰州大学出版社，9 8 19 .
这是不可能的。根据同伦不变性及连通区性质
可得 d g, (,) o dgi, (,, )d g d B e ( BO 8, ) e( B y r Y= e(, f y= d 0) o i (,,) 1由 Ko ekr在定理可得，存在 Y r O=再。) r ce存 n x∈R, f一 y, Y的任意性知， f n R。。“使㈥。由。 A( )| R= I
【郭大钧. 2]非线性泛函分析【’:东科学技术出版社 M】济南山18 . 9 5
责任编辑：坤谭 (接第 8上 8页 )
PW M p e g lt r f r DC o o a e n L2 8 S e d Re u a o o M tr b sd o 9S oNG Ja in
( i n U i ri, e ag 6 0 1 h a We ag n esyW in, 1 6, i ) f v t f 2 C nAb t a tT i at l re ya ay e ec u e f usd l L a igo u l ig n t c l gme s rs sr c: hs r ceb if n ls
st a s so tiewal e k n fb i n sa d i t k i a u e, i l h o d sa n S e pec nu d￣tn eo ti ewal l c igu ela a eb t r,n r vd ce t i a i. Op o l a n e a d t u sd l b o k n pt k g u t a d p o ies in i cb ss h h e e fKe r so tiewal c u e f e k n,tc l gme s rs y wo d:usd l, a s so a ig a k i a u e l n
责任编辑：肖恩忠·
4 9·