练习一
一、填空（3×5分，将正确答案填在横线上）
1．若A B，A C，P(A) = 0.9，P(B∪C) = 0.8，则P(A － B C) = ．
解 A BC,P(A BC) P(A) P(BC) 0.9 [1 P(B C)] 0.7
．
(ni{,}XY0)2．设X、Y为随机变量,已知P(X 0,Y 0) 2，则Pm
5
解 P(min{X,Y} 0) 1 P(min{X,Y} 0) 1 P(X 0,Y 0)
3．设X ～ U（0 ，2），则Y = X
y 0时,FY(y) P(X
2
2
的概率分布密度为
．
y) P( X
fX(x)dx; y 0时,FY(y) 0
y
4
fXy 0,y 0 [ y 0解fY(y) 0 ,y 0
0 ,y 0 0 ,y 0
4．设（X ，Y）～ N ( 1
， 2， 1，
2
2
222
，0) ，则 E(X
2
Y) =
2 ．
解 因(X,Y)~N( 1, 2, 1, 2,0),且 0,所以X,Y独立；
E(XY) E(X)E(Y) [D(X) (EX)][D(Y) (EY)] ( 1 1)(
2
）5．已知随机变量X ～ N（ ，，则由切比雪夫不等式，P X
2222222222
2)
2
3
．
解 P X 3
1
DX(3 )
2
1
9
22
89
二、选择（4×4分，将正确答案的编号填在横线上）
1．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则 ． ① P(A B) = P(C) ② P(A) ＋ P(B) ≤ P(C) ③ P(A) ＋ P(B) － P(C) ≥ 1 ④ P(A) ＋ P(B) － P(C) ≤ 1
解 C AB,P(C) P(AB);P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(C) 1。选4
2．设X1 和X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x) 和f2(x) ，分布函数分别为F1(x) 和F2(x) ，则 ． ① f1(x) ＋ f2(x) 必为某一随机变量的概率密度 ② F1(x)F2(x) 必为某一随机变量的分布函数
③ f1(x)f2(x) 必为某一随机变量的概率密度 ④ F1(x) ＋ F2(x) 必为某一随机变量的分布函数
解
[f1(x) f2(x)]dx 2 1;lim[F1(x) F2(x)] 2;
x
f1(x)f2(x)dx 1,如f1 f2;选2
3．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则下列结论正确的是 ． ① P(X ＋ Y ≤ 0) =
1212
② P(X ＋ Y ≤ 1) =
1212
③ P(X － Y ≤ 0) = ④ P(X － Y ≤ 1) =
= 1
解 X Y~N(1,2)关于x 1对称;选2
4．设随机变量X与Y的相关系数 满足 得 ．
，则必存在常数a ≠ 0和b使
① Y = a X ＋ b ② P(Y = a X ＋ b) = 0 ③ P(Y ≠ a X ＋ b) = 0 ④ P(Y ≠ a X ＋ b) = 1
解 1 P(Y aX b) 1;选3
三、计算（8×8分）
1
(x 2)， 2 x 0 4 1
1．已知连续随机变量X的密度为f(x) = ， cosx，0 x
2 2
0，其它
（1） 求X的分布函数；（2） 求P｛－1 ＜ X ＜ 1｝．
0 ,x 2
x
2(t 2)/4dt , 2 x 0
f(t)dt 0
x
(t 2)/4dt cost/2dt,0 x /2 20
1 ,x /2
解 (1) F(x)
x
0 ,x 2 (x 2)2/8 , 2 x 0
(1 sinx)/2 ,0 x /2 1 ,x /2
(2) P( 1 X 1) F(1) F( 1) 或 P( 1 X 1)
1 sin1
2
10
18
3 4sin1
8
0 1
(x 2)/4dx
cosx/2dx
2．设顾客在某银行的窗口等待的时间（单位：分）X ～ exp(5) ，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开． 他一个月要到银行5次，以Y表示一个月中他未等到服务而离开的次数，试求Y不小于1的概率．
解 设顾客未等到服务离开为A,则 P(A) P(X 10) Y~B(5,e
50
10
5e
5x
dx e
50
),P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C5(e
0 50
)(1 e
0 50
)
5 0
y x，0 x 1
其它
3．设二维随机变量（X ，Y）的联合概率密度为p(x ，y) = 求E X 、E Y 、D X 、D Y及Cov(X ，Y) ．
解 EX EY EX EY
2
1， 0，
，
10
10
dx
x
x x
x 1dy
10
2xdx 2/3
2
dx
10
10
xx
y 1dy 0x 1dy y 1dy
222
dx dx
2
2
xx x
1010
2xdx 1/22x/3dx 1/6
3
3
DX EX E(XY)
(EX)
10
1
2211 () , DY 2386
dx
x x
xy 1dy
10
2xdx 0, cov(X,Y)=0
4．设二维连续随机变量（X ，Y）的联合密度函数为
24(1 x)y，0 y x 1
p(x ，y) = ，试在0 ＜ y ＜ 1时，求 E(XY y) ．
0，其它
1
2 24(1 x)ydx,0 y 1 12y(1 y),0 y 1
解 FY(y) f(x,y)dx y=
0 , 其它 0 , 其它
2(1 x)
,y x 1f(x,y)
f(x|Y y) (1 y)2
fY(y) 0 , 其它
1
E(X|Y y)
xfX(x|Y y)dx
1y
2x(1 x)(1 y)
2
dx
2(1 y)
2
(
1 y2
2
1 y3
3
)=
1+2y3
5．甲、乙相约9：10在车站见面．假设甲、乙到达车站的时间分别均匀分布在9：00 ～ 9：30及9：10 ～ 9：50之间，且两人到达的时间相互独立．求甲、乙两人到达的时间相差不超过10分钟的概率．