2
6、一大批种子中良种占1/6，利用切比雪夫不等式估计在任意选出的6000粒种子中良种所占的比例与1/6比较上下不超过1%的概率。
近似
解 设X为6000粒种子中良种数,则X~B(6000,1/6)~N(1000,400) P(X/6000 1/6 1%) P
2 (3) 1 1
四、应用题（共1小题８分。解答应写出必要的文字说明、相应的公式、演算步骤或过程 ）
用机床制造大小相同的零件，由于随机误差每个零件的重量（单位：千克）在（0.95，1.05）上均匀分布。设每个零件重量相互独立。试求制造1200个零
件，问总重量大于1202kg的概率是多少？（Φ（2）=0.977，其中Φ（x）是标准正态分布函数）
解 设Xi为第i个零件重,则EX 1,DX (1.05 0.95)/12 0.1/12
1200
近似
2
2
Xi~N(1200EXi,1200DXi) N(1200,1)
i 1
1200
P( Xi 1202) 1 F(1202) 1 i 1
0.023
练习四
一、填空题（每小题2分，共1６分） 1 三个人能独立地破译密码的概率分别为
115
,
4
,
13
，此密码能被译出的概率为__________
解 设Ai为第i人破译密码，A为密码被破译,则A A1 A2 A3 P(A) 1 P(A) 1 P(A1A2A3) 1 (4/5)(3/4)(2/3) 3/5
２ 设事件A发生的概率为 . 则在三次实验中，事件A 恰好发生两次的概率为__________.
解 X为A发生次数,则X~B(3, );P(X 2) C3 (1 )
2
2
3 已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，那么P(AB)=______,P(A B)=______.
解 P(AB) P(A B) P(A) P(B) 0,P(AB) 1,P(AB) P(A B) 0.2
4 设随机变量X在区间[1,3]上服从均匀分布，则P（1.5<X<4.5）__________.
解 P(1.5 X 4.5)
31.5
12
dx
1.52
34
5 已知随机变量 ~N(3,16)，且P( c) P( c)，则c ________。
解 P( c) P( c) P( c) F(c) 0.5 c 3
6
x 1 0
0.3 1 x 1
设随机变量X的分布函数为：F(x) 则P（X=1）=0.61 x 2 1x 2
解 P(X 1) P(X 1) P(X 1) F(1) F(x)(x 1) 0.6 0.3 0.3
7 设随机变量X与Y相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，
则E（XY）=
解 E(XY) EX EY 1 3 3
8 设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则解 D(2X Y) 2DX ( 1)DY 4 2 6
2
2
二、单项选择题（每小题３分，共１５分）
1 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 _______________ （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B）“甲、乙两种产品均畅销”
（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
解 设B甲畅销C乙滞销，则A=BC=B C;选D
2 设事件A与B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ）
（A）P(A B)=P(A)+P(B)（B）P(AB)=P(A)P(B) （C）A=B（D）P(A|B)=P(A)
解 P(AB) 0;选A
３ 设离散型随机变量X的分布律为：P(X k) b (k 1,2 ),且b 0，则 为（ ）。 (A)
1b 1
k
； (B)
b 1
1b 1
； (C) b 1； (D) 大于零的任意实数。
1b 1
解 由 b =
k 1
k
1,解的 ;选A
4 设F（x）和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（ ） （A）f(x)单调不减（B）
解 选C
1,事件A发生；
0,事件A不发生，
100
F(x)dx 1（C）F（-∞）=0 （D）F(x)
f(x)dx
5设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi= i=1，2， ，100，且
P(A)=0.8,X1,X2, ,X100相互独立。令Y=
i 1
X
i
，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)
近似于（ ） （A）Ф(y)
近似
（B）Ф
(
y 804
)
（C）Ф(16y+80) （D）Ф
(4y+80)
解 Y~N(100p,100pq) N(80,16),FY(y) 选B
三、计算题（１小题６分，其余每小题9分，共51分） 1 20个学生排成一列，求其中甲位于首位的概率？
解 P19/P20 1/20
2 医学上用某方法检验“非典”患者，临床表现为发热、干咳，已知人群中既发热又干咳的病人患“非典”的概率为5%；仅发热的病人患“非典”的概率为3%；仅干咳的病人患“非典”的概率为1%；无上述现象而被确诊为“非典”患者的概率为0.01%；现对某疫区25000人进行检查，其中既发热又干咳的病人为250人，仅发热的病人为500人，仅干咳的病人为1000人，试求：(1)该疫区中某人患“非典”的概率；(2)被确诊为“非典”患者是仅发热的病人的概率
解 设A为发热,B为干咳,D为患非典,则
(1) P(D) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB) P(AB)P(D|AB)25000250002500025000
(2) P(AB|D) P(AB)P(D|AB)/P(D) 0.06/0.1593 0.3766, 1x A(1 x)
3 设连续型随机变量 的密度函数为 f(x)
0,其它
1
3%
500
1%
1000
5%
250
0.01%
23250
0.1593%
求：（１）常数A （２）X的分布函数F(x) （３）P 0.5 （４）E(
1 1
2
1)
解 (1) 由
A(1 x)dx 2A 1 A
12
;
(2) F(x)
x
0 ,x 1 0 ,x 1
2 x (1 x)
f(t)dt (1 t)/2dt , 1 x 1 , 1 x 1
1
4
1 ,x 11 ,x 1
2
2
(3) P( 0.5) F(0.5) F( 0.5) (1.5 0.5)/4 1/2(4) E(
2
1)
1 1
(x 1)(1 x)/2dx
2
10
(x 1)dx
2
13
1
2 3
4 对球的直径X作近似测量，设其值在区间[a,b]上均匀分布， 求球体积V的概率密度.
（球体积V
3
43
(
X2
)）
3
解 由 v x/6 得 x fV(v) fX/